פונקציות — כיתה ט׳ (קל)

פתרונות

1. 3 — בצורה y = mx + n, המקדם של x הוא השיפוע m = 3.
2. יורד משמאל לימין — שיפוע שלילי מורה שככל שx גדל, y קטן — הגרף יורד.
3. (0, 8) — חיתוך עם ציר y: x = 0, ולכן y = 8. הנקודה (0, 8).
4. 16 — y = (−4)² = 16. ריבוע של מספר שלילי תמיד חיובי.
5. 0 — הקודקוד של y = x² הוא הנקודה (0, 0), ולכן קואורדינטת y היא 0.
6. x = 0 — הפרבולה y = x² סימטרית ביחס לציר y, שמשוואתו x = 0.
7. מטה — כאשר המקדם של x² שלילי (כאן a = −3 < 0), הפרבולה נפתחת כלפי מטה.
8. −4 — ציר y: x = 0. y = 0² − 4 = −4.
9. (2, 0) — בצורה y = (x − h)², הקודקוד הוא (h, 0). כאן h = 2, לכן הקודקוד (2, 0).
10. x = −3 — בצורה y = (x − h)², ציר הסימטריה הוא x = h. כאן y = (x − (−3))², ולכן x = −3.
11. 3 — y = 6/2 = 3.
12. x = 0 ו־y = 0 — לפונקציה y = a/x יש תמיד אסימפטוטות x = 0 (ציר y) ו־y = 0 (ציר x).
13. x כש־x ≥ 0, ו־−x כש־x < 0 — ערך מוחלט: |x| = x כש־x ≥ 0, ו־|x| = −x כש־x < 0.
14. 7 — |−7| = 7 כי ערך מוחלט מחזיר את הגודל ללא סימן.
15. 1 — הקודקוד הוא (0, 1) ולכן y מינימלי = 1 (הפרבולה נפתחת מעלה).
16. רביעים ראשון ושלישי — כש־a > 0, הגרף y = a/x נמצא ברביע ראשון (x > 0, y > 0) ושלישי (x < 0, y < 0).
17. x = 3 — y = x² − 6x + 9 = (x − 3)². ציר הסימטריה: x = 3.
18. שני ורביעי — כש־a < 0 (כאן a = −4), הגרף y = a/x נמצא ברביע שני (x < 0, y > 0) ורביעי (x > 0, y < 0).
19. 1 — y = x² חותכת את ציר ה־x בנקודה אחת: (0, 0) (הקודקוד עצמו נגע בציר).
20. 3 — פונקציית הרצפה ⌊x⌋ מחזירה את המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על x. ⌊3.7⌋ = 3.
21. −3 — ⌊−2.3⌋ = −3 כי המספר השלם הגדול שאינו עולה על −2.3 הוא −3 (לא −2!).
22. 10 — f'(x) = 2x. f'(5) = 2 × 5 = 10.
23. (2, 3) — x_vert = −b/(2a) = 4/2 = 2. y_vert = 4 − 8 + 7 = 3. נקודת הקיצון: (2, 3).
24. 20 מ' — הנוסחה h = 20t − 5t². נגזרת: 20 − 10t = 0 ⟹ t = 2. גובה מקסימלי: h(2) = 40 − 20 = 20 מ'.
25. 15 מ' — h(5) = 3·5 = 15 מ'.
26. x = 3 — ציר הסימטריה: x = −b/(2a) = 6/2 = 3.
27. כ־17 — 4.1² ≈ 4² = 16, ובדיוק: 4.1² = 16.81. האומדן הקרוב הוא 17.
28. כ־0.4 — 2.1² − 4 = 4.41 − 4 = 0.41 ≈ 0.4.
29. 9 — מציבים x = 3: y = 3² = 9.
30. x = 0 — הפרבולה y = x² סימטרית סביב ציר ה־y, כלומר x = 0.
31. (0, 0) — הקודקוד של y = x² הוא בראשית (0, 0).
32. כלפי מעלה — כאשר a > 0 (כאן a = 1), הפרבולה פתוחה כלפי מעלה.
33. 3 — בציר ה־y מציבים x = 0: y = 0² + 3 = 3.
34. כלפי מטה — כאשר a = −1 < 0, הפרבולה פתוחה כלפי מטה.
35. כל x ≠ 0 — הפונקציה y = 1/x לא מוגדרת עבור x = 0 (חלוקה באפס). לכל x אחר היא מוגדרת.
36. x = 0 ו־y = 0 — הגרף מתקרב לציר ה־x (y = 0) ולציר ה־y (x = 0) אך לא חותך אותם.
37. (2, 0) ו־(−2, 0) — 0 = x² − 4 → x² = 4 → x = ±2. הנקודות (2, 0) ו־(−2, 0).
38. (3, 0) — בצורה הקנונית y = (x − h)² + k, הקודקוד הוא (h, k). כאן h = 3, k = 0, לכן (3, 0).
39. (x + 1)² — x² + 2x + 1 = (x + 1)². אפשר לבדוק: (x+1)² = x² + 2x + 1.
40. הפרבולה צרה יותר — ככל ש־|a| גדול יותר, הפרבולה צרה יותר (חדה יותר). a = 2 > a = 1.