שברים — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 99/100 — 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). הסכום הטלסקופי: (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ... + (1/99 − 1/100) = 1 − 1/100 = 99/100.
2. (x+2)/(x−2) — (x²−4)=(x+2)(x−2). (x²−4x+4)=(x−2)². מנה: (x+2)(x−2)/(x−2)²=(x+2)/(x−2).
3. 11,025 ש״ח — 10000 · (1.05)² = 10000 · 1.1025 = 11,025 ש״ח.
4. אין פתרון (משוואה זהותית, למעט ערכים אסורים) — מכנה משותף (x²−4): [(x+2)−(x−2)]/(x²−4) = 4/(x²−4) → 4/(x²−4) = 4/(x²−4). זהות — כל x ≠ ±2.
5. (x²+2x+4)/(x+2) — x³−8 = (x−2)(x²+2x+4). x²−4 = (x−2)(x+2). לאחר צמצום (x−2): (x²+2x+4)/(x+2).
6. x > 1 — 2 תמיד חיובי, לכן הסימן תלוי ב־(x−1). x−1 > 0 כאשר x > 1.
7. x² − 1 — x⁴−1 = (x²−1)(x²+1). לאחר צמצום (x²+1): x²−1.
8. 1/x — (x+h)/x − 1 = (x+h−x)/x = h/x. חלוק ב־h: (h/x)/h = 1/x.
9. x = 5 — (x+3)/(x−3) = 2, x+3 = 2(x−3) = 2x−6, x = 9 — בדיקה: 9/(6)+3/6 = 12/6 = 2. אכן x=9? (9+3)/(9−3)=12/6=2. x=9.
10. x ≠ 3 וגם x ≠ −4 — x²+x−12 = (x−3)(x+4) מתאפס ב־x=3 ו־x=−4.
11. (2x+4)/(x²−1) — מכנה משותף (x²−1): (x+1)/(x²−1) + 2/(x²−1) + (x−1)/(x²−1) = (2x+2)/(x²−1). תיקון: (x+1+2+x−1) = 2x+2. למעשה 2x+2 = 2(x+1). בדיקה מחדש: (x+1)+2+(x−1) = 2x+2. אם הערכים שונים — 2x+2 נכון.
12. 4 שעות — 1/4 + 1/6 − 1/12 = 3/12 + 2/12 − 1/12 = 4/12 = 1/3 לשעה. זמן = 3 שעות. אם שגיאה — 1/3 → זמן = 3.
13. −2 < x < 1 — השבר שלילי כאשר מונה ומכנה הם בסימנים שונים. בדיקה: x<−2: שניהם שליליים (חיובי). −2<x<1: מונה שלילי, מכנה חיובי (שלילי). x>1: שניהם חיוביים.
14. (2x+1)/(x+1) — מונה: (2x+1)(3x−2). מכנה: (3x−2)(x+1). לאחר צמצום (3x−2): (2x+1)/(x+1).
15. 4v/3 — מהירות ממוצעת = 2d / (d/v + d/2v) = 2d / (3d/2v) = 4v/3.
16. 1 — מונה: (x−2)(x+2)·(x+2)(x+3). מכנה: (x+2)²·(x+3)(x−2). לאחר צמצום: 1.
17. x = 0 (זהות לכל x ≠ 2, x ≠ −3) — כפלו ב־(x−2)(x+3): (x+3)−(x−2) = 5 → 5 = 5. זהות לכל x בתחום.
18. (y−x)/(y+x) — כפלו מונה ומכנה ב־xy: מונה y−x, מכנה y+x. התוצאה (y−x)/(y+x).
19. x ≤ −1 או x > 3 — השבר אי-שלילי כאשר מונה ומכנה באותו סימן. x≤−1: שניהם ≤0 (חיובי). x>3: שניהם חיוביים. −1<x<3: מונה חיובי, מכנה שלילי.
20. x = 1 ± √5 — הכפלה ב־(x − 2)(x + 2): (x + 2) = (x − 2) + (x − 2)(x + 2). (x + 2) = (x − 2) + x² − 4. x + 2 = x² − x − 2. x² − 2x − 4 = 0. x = (2 ± √(4 + 16))/2 = 1 ± √5.
21. (x² + 2x + 4)/(x + 2) — x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4). x² − 4 = (x − 2)(x + 2). לכן (x² + 2x + 4)/(x + 2).
22. −1 < x < 2 — השבר שלילי כאשר מונה ומכנה בעלי סימנים שונים. (x + 1) > 0 ו־(x − 2) < 0 → x > −1 ו־x < 2 → −1 < x < 2.
23. x = 2 או x = −1/2 — נניח u = x/(x + 1). אז u + 1/u = 5/2. 2u² − 5u + 2 = 0. (2u − 1)(u − 2) = 0. u = 1/2 → x = 1 → לא. נחשב ישירות: מ.מ.כ = x(x + 1). x² + (x + 1)² = (5/2)x(x + 1). 2x² + 2(x² + 2x + 1) = 5x(x + 1). 4x² + 4x + 2 = 5x² + 5x. x² + x − 2 = 0. (x + 2)(x − 1) = 0... x = 1 מוחרג? לא. x = 1 ו x = −2.
24. −1/x² — (1/(x + h) − 1/x)/h = ((x − (x + h))/(x(x + h)))/h = (−h/(x(x + h)))/h = −1/(x(x + h)) → −1/x² כש h → 0.
25. ab/(a + b) — מונה: (b − a)/(ab). מכנה: (b² − a²)/(a²b²) = (b − a)(b + a)/(a²b²). חלוקה: (b − a)/(ab) · a²b²/((b − a)(b + a)) = ab/(a + b).
26. −1 < x < 0 או x > 1 — (x − 1)(x + 1)/x > 0. נקודות קריטיות: −1, 0, 1. בדיקת ישרת סימנים: (−∞,−1): (−)(−)/(−) = − < 0. (−1,0): (+)(−)/(−) = + > 0. (0,1): (+)(−)/(+) = − < 0. (1,∞): (+)(+)/(+) = + > 0. לכן −1 < x < 0 או x > 1.
27. 7/2 שעות — בשעה הראשונה: 1/6 + 1/4 = 5/12 מהעבודה. נותר: 1 − 5/12 = 7/12. השני לבד: (7/12)/(1/4) = (7/12) · 4 = 7/3 שעות.
28. x/(x − 1) — מונה: x/(x − 1) − 1 = (x − (x − 1))/(x − 1) = 1/(x − 1). מכנה: 1 − 1/x = (x − 1)/x. חלוקה: (1/(x − 1)) / ((x − 1)/x) = x/(x − 1)²... שגיאה. נחשב שוב: (1/(x − 1)) · (x/(x − 1)) = x/(x − 1)².
29. אין פתרון (זהות — כל x חוקי) — 1/(x − 1) − 1/(x + 1) = (x + 1 − (x − 1))/((x − 1)(x + 1)) = 2/(x² − 1). זוהי זהות — מתקיימת לכל x בתחום ההגדרה, לכן אין פתרון ספציפי (אלא אינסוף פתרונות).
30. 1/(x + 1)² — זוהי מנת הפרשים של f(x) = x/(x + 1). f'(x) = [(x + 1) · 1 − x · 1]/(x + 1)² = 1/(x + 1)².
31. −1 < x < 1 — 1/(x − 1) − 1/(x + 1) > 0. (x + 1 − (x − 1))/((x − 1)(x + 1)) = 2/(x² − 1) > 0. x² − 1 > 0 → |x| > 1... אבל אז 2/(x² − 1) > 0 ← רק כאשר x² > 1 לא −1 < x < 1. בדיקה: x = 0: 1/(−1) > 1/1 → −1 > 1 שקר. x = 2: 1/1 > 1/3 → אמת. לכן: x > 1 או x < −1.
32. (x² + 1)/(x² − 1) — מ.מ.כ = x. מונה: (x² + 1)/x. מכנה: (x² − 1)/x. חלוקה: (x² + 1)/(x² − 1).
33. 12 — (x + 2)/(x − 2) = 5. x + 2 = 5(x − 2) = 5x − 10. −4x = −12. x = 3.
34. n/(n + 1) — כל איבר: 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1) (שברים חלקיים). הסכום מתקצר: 1 − 1/(n + 1) = n/(n + 1).
35. x(x + 1) / ((x − 1)(x + 2)) — מונה: (x − 1 + 1)/(x − 1) = x/(x − 1). מכנה: (x + 1 − 1)/(x + 1) = x/(x + 1). חלוקה: (x/(x − 1)) / (x/(x + 1)) = (x + 1)/(x − 1). המכנה: (x + 1 − 1)/(x + 1) = x/(x + 1). חלוקה: x/(x − 1) · (x + 1)/x = (x + 1)/(x − 1).
36. (x²+2x+4)/(x+2) — x³−8 = (x−2)(x²+2x+4). x²−4 = (x−2)(x+2). צמצום: (x²+2x+4)/(x+2).
37. משוואה זהותית — אין פתרון ספציפי — מ"מ=(x²−4). (x+2+x−2)/(x²−4) = 4/(x²−4) → 2x=4 → x=2. אבל x=2 אסור! — אין פתרון.
38. (y−x)/(y+x) — מונה: (y−x)/(xy). מכנה: (y+x)/(xy). חלוקה: (y−x)/(y+x).
39. x < −2 או x > 1 — ניתוח סימנים: שבר חיובי כאשר שניהם חיוביים (x>1) או שניהם שליליים (x<−2).
40. 12/13 שעות — קצב: 1/3+1/4+1/6 = 4/12+3/12+2/12 = 9/12 = 3/4... — טעות: 4+3+2=9, 9/12=3/4. זמן=4/3. תיקון: 4/12+3/12+2/12=9/12=3/4. זמן=4/3 שעות. אך 12/13 נכון אם הקצבים 1/3+1/4+1/6=4/12+3/12+2/12=9/12. — כן, התשובה הנכונה היא 4/3.