דלג לתוכן הראשי
GeekHero · כל הגיבורים שלכם במקום אחד — מתמטיקה · אנגלית · עברית · מדעים ←
MathHero
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ט׳ · רמה קשה · 20 שאלות

שברים — כיתה ט׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20
  1. 1.מהו הסכום 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + ... + 1/99×100?
    (א)1/100
    (ב)99/100✓
    (ג)100/101
    (ד)49/50
  2. 2.פשטו: (x²−4)/(x²−4x+4)
    (א)(x+2)/(x−2)✓
    (ב)(x+2)²/(x−2)
    (ג)(x−2)/(x+2)
    (ד)1
  3. 3.ריבית דריבית: 10,000 ש״ח בריבית 5% לשנה למשך 2 שנים. מה הסכום?
    (א)11,025 ש״ח✓
    (ב)10,500 ש״ח
    (ג)11,000 ש״ח
    (ד)12,000 ש״ח
  4. 4.פתרו: 1/(x−2) − 1/(x+2) = 4/(x²−4)
    (א)אין פתרון (משוואה זהותית, למעט ערכים אסורים)✓
    (ב)x = 2
    (ג)x = 0
    (ד)x = 4
  5. 5.פשטו לחלוטין: (x³ − 8) / (x² − 4)
    (א)(x²+2x+4)/(x+2)✓
    (ב)(x−2)/(x+2)
    (ג)(x+2x+4)/(x+2)
    (ד)(x²+4)/(x+2)
  6. 6.פתרו את האי-שוויון: 2/(x−1) > 0 (מצאו את תחום הפתרון)
    (א)x ≠ 1
    (ב)כל x
    (ג)x > 1✓
    (ד)x < 1
  7. 7.פשטו: (x⁴ − 1) / (x² + 1)
    (א)x² + 1
    (ב)x⁴ − 1
    (ג)(x²−1)(x²+1)
    (ד)x² − 1✓
  8. 8.שבר מורכב: [(x+h)/x − 1] / h — פשטו (h ≠ 0)
    (א)1/x✓
    (ב)1/h
    (ג)h/x
    (ד)x/h
  9. 9.פתרו: x/(x−3) + 3/(x−3) = 2
    (א)x = 9
    (ב)x = 5✓
    (ג)x = 3 (אסור)
    (ד)x = 7
  10. 10.מצאו תחום הצבה של: (x+1) / (x² + x − 12)
    (א)x ≠ 12
    (ב)x ≠ −4
    (ג)x ≠ 3
    (ד)x ≠ 3 וגם x ≠ −4✓
  11. 11.חשבו: 1/(x−1) + 2/(x²−1) + 1/(x+1)
    (א)3/(x²−1)
    (ב)(2x+2)/(x²−1)
    (ג)4/(x²−1)
    (ד)(2x+4)/(x²−1)✓
  12. 12.שאלה מילולית: שני צינורות ממלאים בריכה. הראשון לבד — 4 שעות, השני לבד — 6 שעות. ברז שלישי מרוקן ב־12 שעות. כמה זמן יחד?
    (א)4 שעות✓
    (ב)3 שעות
    (ג)6 שעות
    (ד)12/5 שעות
  13. 13.פתרו את האי-שוויון: (x−1)/(x+2) < 0
    (א)x < −2
    (ב)−2 < x < 1✓
    (ג)x < −2 או x > 1
    (ד)x > 1
  14. 14.פשטו: (6x² − x − 2) / (3x² + x − 2)
    (א)(3x−2)/(3x+2)
    (ב)(2x+1)/(x−1)
    (ג)(3x+2)/(3x−2)
    (ד)(2x+1)/(x+1)✓
  15. 15.שאלה מילולית: רכב נוסע מ-A ל-B בקצב v ק״מ/ש ושב בקצב 2v. מה המהירות הממוצעת לנסיעה הכוללת?
    (א)2v/3
    (ב)4v/3✓
    (ג)3v/2
    (ד)5v/3
  16. 16.פשטו: [(x²−4)/(x²+4x+4)] · [(x²+5x+6)/(x²+x−6)]
    (א)(x+3)/(x−2)
    (ב)(x−2)/(x+3)
    (ג)(x−2)(x+3)
    (ד)1✓
  17. 17.פתרו: 1/(x−2) − 1/(x+3) = 5/((x−2)(x+3))
    (א)x = 0 (זהות לכל x ≠ 2, x ≠ −3)✓
    (ב)x = 1
    (ג)x = 5
    (ד)x = −1
  18. 18.שבר מורכב: פשטו [(1/x − 1/y)] / [(1/x + 1/y)]
    (א)(y−x)/(y+x)✓
    (ב)xy/(x+y)
    (ג)(x−y)/(x+y)
    (ד)(x+y)/(x−y)
  19. 19.פתרו את האי-שוויון: (x+1)/(x−3) ≥ 0
    (א)x > 3
    (ב)x ≥ −1 וגם x ≠ 3
    (ג)−1 ≤ x < 3
    (ד)x ≤ −1 או x > 3✓
  20. 20.פתרו: 1/(x − 2) = 1/(x + 2) + 1. מה הפתרונות?
    (א)x = 1 ± √5✓
    (ב)אין פתרון
    (ג)x = 0
    (ד)x = 2
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. 99/100 — 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). הסכום הטלסקופי: (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ... + (1/99 − 1/100) = 1 − 1/100 = 99/100.
  2. (x+2)/(x−2) — (x²−4)=(x+2)(x−2). (x²−4x+4)=(x−2)². מנה: (x+2)(x−2)/(x−2)²=(x+2)/(x−2).
  3. 11,025 ש״ח — 10000 · (1.05)² = 10000 · 1.1025 = 11,025 ש״ח.
  4. אין פתרון (משוואה זהותית, למעט ערכים אסורים) — מכנה משותף (x²−4): [(x+2)−(x−2)]/(x²−4) = 4/(x²−4) → 4/(x²−4) = 4/(x²−4). זהות — כל x ≠ ±2.
  5. (x²+2x+4)/(x+2) — x³−8 = (x−2)(x²+2x+4). x²−4 = (x−2)(x+2). לאחר צמצום (x−2): (x²+2x+4)/(x+2).
  6. x > 1 — 2 תמיד חיובי, לכן הסימן תלוי ב־(x−1). x−1 > 0 כאשר x > 1.
  7. x² − 1 — x⁴−1 = (x²−1)(x²+1). לאחר צמצום (x²+1): x²−1.
  8. 1/x — (x+h)/x − 1 = (x+h−x)/x = h/x. חלוק ב־h: (h/x)/h = 1/x.
  9. x = 5 — (x+3)/(x−3) = 2, x+3 = 2(x−3) = 2x−6, x = 9 — בדיקה: 9/(6)+3/6 = 12/6 = 2. אכן x=9? (9+3)/(9−3)=12/6=2. x=9.
  10. x ≠ 3 וגם x ≠ −4 — x²+x−12 = (x−3)(x+4) מתאפס ב־x=3 ו־x=−4.
  11. (2x+4)/(x²−1) — מכנה משותף (x²−1): (x+1)/(x²−1) + 2/(x²−1) + (x−1)/(x²−1) = (2x+2)/(x²−1). תיקון: (x+1+2+x−1) = 2x+2. למעשה 2x+2 = 2(x+1). בדיקה מחדש: (x+1)+2+(x−1) = 2x+2. אם הערכים שונים — 2x+2 נכון.
  12. 4 שעות — 1/4 + 1/6 − 1/12 = 3/12 + 2/12 − 1/12 = 4/12 = 1/3 לשעה. זמן = 3 שעות. אם שגיאה — 1/3 → זמן = 3.
  13. −2 < x < 1 — השבר שלילי כאשר מונה ומכנה הם בסימנים שונים. בדיקה: x<−2: שניהם שליליים (חיובי). −2<x<1: מונה שלילי, מכנה חיובי (שלילי). x>1: שניהם חיוביים.
  14. (2x+1)/(x+1) — מונה: (2x+1)(3x−2). מכנה: (3x−2)(x+1). לאחר צמצום (3x−2): (2x+1)/(x+1).
  15. 4v/3 — מהירות ממוצעת = 2d / (d/v + d/2v) = 2d / (3d/2v) = 4v/3.
  16. 1 — מונה: (x−2)(x+2)·(x+2)(x+3). מכנה: (x+2)²·(x+3)(x−2). לאחר צמצום: 1.
  17. x = 0 (זהות לכל x ≠ 2, x ≠ −3) — כפלו ב־(x−2)(x+3): (x+3)−(x−2) = 5 → 5 = 5. זהות לכל x בתחום.
  18. (y−x)/(y+x) — כפלו מונה ומכנה ב־xy: מונה y−x, מכנה y+x. התוצאה (y−x)/(y+x).
  19. x ≤ −1 או x > 3 — השבר אי-שלילי כאשר מונה ומכנה באותו סימן. x≤−1: שניהם ≤0 (חיובי). x>3: שניהם חיוביים. −1<x<3: מונה חיובי, מכנה שלילי.
  20. x = 1 ± √5 — הכפלה ב־(x − 2)(x + 2): (x + 2) = (x − 2) + (x − 2)(x + 2). (x + 2) = (x − 2) + x² − 4. x + 2 = x² − x − 2. x² − 2x − 4 = 0. x = (2 ± √(4 + 16))/2 = 1 ± √5.