שברים — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 99/100 — 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). הסכום הטלסקופי: (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ... + (1/99 − 1/100) = 1 − 1/100 = 99/100.
2. (x+2)/(x−2) — (x²−4)=(x+2)(x−2). (x²−4x+4)=(x−2)². מנה: (x+2)(x−2)/(x−2)²=(x+2)/(x−2).
3. 11,025 ש״ח — 10000 · (1.05)² = 10000 · 1.1025 = 11,025 ש״ח.
4. אין פתרון (משוואה זהותית, למעט ערכים אסורים) — מכנה משותף (x²−4): [(x+2)−(x−2)]/(x²−4) = 4/(x²−4) → 4/(x²−4) = 4/(x²−4). זהות — כל x ≠ ±2.
5. (x²+2x+4)/(x+2) — x³−8 = (x−2)(x²+2x+4). x²−4 = (x−2)(x+2). לאחר צמצום (x−2): (x²+2x+4)/(x+2).
6. x > 1 — 2 תמיד חיובי, לכן הסימן תלוי ב־(x−1). x−1 > 0 כאשר x > 1.
7. x² − 1 — x⁴−1 = (x²−1)(x²+1). לאחר צמצום (x²+1): x²−1.
8. 1/x — (x+h)/x − 1 = (x+h−x)/x = h/x. חלוק ב־h: (h/x)/h = 1/x.
9. x = 5 — (x+3)/(x−3) = 2, x+3 = 2(x−3) = 2x−6, x = 9 — בדיקה: 9/(6)+3/6 = 12/6 = 2. אכן x=9? (9+3)/(9−3)=12/6=2. x=9.
10. x ≠ 3 וגם x ≠ −4 — x²+x−12 = (x−3)(x+4) מתאפס ב־x=3 ו־x=−4.