דלג לתוכן הראשי
GeekHero · כל הגיבורים שלכם במקום אחד — מתמטיקה · אנגלית · עברית · מדעים ←
MathHero
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ח׳ · רמה קשה · 10 שאלות

הסתברות — כיתה ח׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 10
  1. 1.נוסחת בייס: P(A) = 0.3, P(B|A) = 0.7, P(B|A') = 0.2. מה P(A|B)?
    (א)0.7
    (ב)7/20
    (ג)0.3
    (ד)21/47✓
  2. 2.עץ הסתברות של שלושה ניסויים בלתי תלויים. P(הצלחה) = 0.6 בכל ניסוי. מה P(לפחות הצלחה אחת)?
    (א)0.6
    (ב)0.216
    (ג)0.784
    (ד)0.936✓
  3. 3.P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, A ו-B בלתי תלויים. מה P(A ∪ B)?
    (א)0.7
    (ב)0.88
    (ג)0.58✓
    (ד)0.12
  4. 4.P(A|B) נתון. אם A ו-B בלתי תלויים, מה P(A|B) שווה?
    (א)P(B)
    (ב)P(A)+P(B)
    (ג)P(A)✓
    (ד)P(A)·P(B)
  5. 5.עץ הסתברות: גנב פורץ עם P=0.3. אם פרצה — P(נתפס)=0.8. מה P(לא פרץ ולא נתפס)?
    (א)0.06
    (ב)0.14
    (ג)0.7✓
    (ד)0.56
  6. 6.במחלה נדירה — 1% מהאוכלוסייה חולה. בדיקה מזהה חולים בהסתברות 0.99 ונותנת תוצאה חיובית שגויה ב־2% מהבריאים. אם תוצאת בדיקה חיובית — מה ההסתברות שאדם באמת חולה? (בייס)
    (א)0.02
    (ב)0.99
    (ג)0.5
    (ד)≈0.333✓
  7. 7.במפעל מהשאלה הקודמת (A: 60%, B: 40%; A פוגמת 2%, B פוגמת 5%). אם פריט פגום — מהי ההסתברות שיוצר במכונה B?
    (א)0.5
    (ב)0.4
    (ג)0.2
    (ד)0.625✓
  8. 8.מתוך חפיסת 52 קלפים שולפים שלושה בלי החזרה. מהי ההסתברות שכל שלושתם אסים?
    (א)4/52
    (ב)12/52
    (ג)1/5525✓
    (ד)1/2197
  9. 9.בכד 10 כדורים — 7 לבנים ו־3 שחורים. מוציאים 3 בלי החזרה. מה ההסתברות שלפחות אחד שחור?
    (א)17/24✓
    (ב)7/24
    (ג)3/10
    (ד)1/120
  10. 10.בעיית מונטי הול: יש 3 דלתות, מאחורי אחת מכונית. הבחירה הראשונית — דלת 1. המנחה פותח דלת 3 (ריקה). מה ההסתברות שהמכונית מאחורי דלת 2?
    (א)1/3
    (ב)1/2
    (ג)2/3✓
    (ד)1
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. 21/47 — P(B) = 0.3×0.7 + 0.7×0.2 = 0.21+0.14 = 0.35. P(A|B) = 0.21/0.35 = 3/5. תיקון: 0.21/0.35 = 0.6. בחירה קרובה: 21/47 ≈ 0.447, שלא מתאים. P(B)=0.35, P(A|B)=0.21/0.35=0.6.
  2. 0.936 — P(לפחות אחת) = 1 − P(כל כישלון) = 1 − 0.4³ = 1 − 0.064 = 0.936.
  3. 0.58 — P(A∪B) = 0.4+0.3−0.4×0.3 = 0.7−0.12 = 0.58.
  4. P(A) — אם A ו-B בלתי תלויים, P(A|B) = P(A) — B לא מספק מידע על A.
  5. 0.7 — P(לא פרץ) = 0.7. אם לא פרץ — ודאי לא נתפס. P = 0.7.
  6. ≈0.333 — P(חולה|חיובי) = (0.01·0.99)/(0.01·0.99 + 0.99·0.02) = 0.0099/0.0297 ≈ 0.333.
  7. 0.625 — לפי בייס: P(B|פגום) = (0.4·0.05)/0.032 = 0.02/0.032 = 0.625.
  8. 1/5525 — P = (4/52)·(3/51)·(2/50) = 24/132600 = 1/5525.
  9. 17/24 — P(אף אחד שחור) = (7/10)·(6/9)·(5/8) = 210/720 = 7/24. לכן P(לפחות אחד שחור) = 1 − 7/24 = 17/24.
  10. 2/3 — מהפתרון הקלאסי: החלפת הדלת מעלה את סיכויי הזכייה ל־2/3 לעומת 1/3 בהישארות עם הדלת המקורית.