דלג לתוכן הראשי
GeekHero · כל הגיבורים שלכם במקום אחד — מתמטיקה · אנגלית · עברית · מדעים ←
MathHero
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ח׳ · רמה קשה · 20 שאלות

גיאומטריה — כיתה ח׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20
  1. 1.מצא שטח המשולש עם קודקודים A(1,2), B(5,2), C(3,6).
    xy-2-1123456-2-112345670(1, 2)(5, 2)(3, 6)
    (א)12
    (ב)10
    (ג)8✓
    (ד)6
  2. 2.נקודה P נמצאת על הקטע AB. A(1,1), B(7,4). P מחלק AB ביחס 2:1 מ-A. מהן קואורדינטות P?
    xy-2-112345678-2-1123450(1, 1)(7, 4)
    (א)(5,2)
    (ב)(5,3)✓
    (ג)(4,3)
    (ד)(3,2)
  3. 3.ישר עובר דרך A(0,0) ו-B(a,b). מה ישר הניצב לו דרך B?
    (א)y−b = −(a/b)(x−a)✓
    (ב)y = −(b/a)x
    (ג)y−b = (b/a)(x−a)
    (ד)y−b = (a/b)(x−a)
  4. 4.מה המרחק של הנקודה (3,4) מהישר y=x?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-11234560(3, 4)
    y = x
    (א)√2/2✓
    (ב)1/√2
    (ג)√2
    (ד)1
  5. 5.מצא את ציר הסימטריה של הקטע שקצותיו A(2,6) ו-B(8,2).
    xy-2-1123456789-2-112345670(2, 6)(8, 2)
    (א)y = (3/2)x − 3.5✓
    (ב)y = (3/2)x + 1
    (ג)y = (3/2)x − 2
    (ד)y = (3/2)x − 5
  6. 6.שלושת הנקודות A(0,0), B(4,3), C(8,k) קולינאריות. מהו k?
    xy-2-112345-2-112340(0, 0)(4, 3)
    (א)7
    (ב)6✓
    (ג)5
    (ד)8
  7. 7.מצא מרחק בין שני ישרים מקבילים: y=3x+1 ו-y=3x+7.
    xy-6-5-4-3-2-1123456-15-13-11-9-7-5-3-113579111315171921230
    y = 3x + 1y = 3x + 7
    (א)6/√10✓
    (ב)3/√10
    (ג)√10
    (ד)6
  8. 8.מלבן ABCD: A(1,1), B(5,1), C(5,4). מה נקודת D?
    xy-2-1123456-2-1123450(1, 1)(5, 1)(5, 4)
    (א)(1,4)✓
    (ב)(0,4)
    (ג)(1,5)
    (ד)(4,4)
  9. 9.נקודה T נמצאת על ציר y. המרחק שלה מ-A(3,0) שווה למרחק שלה מ-B(5,4). מה קואורדינטת y של T?
    xy-2-1123456-2-1123450(3, 0)(5, 4)
    (א)3
    (ב)1
    (ג)4✓
    (ד)2
  10. 10.מה שטח המרובע עם קודקודים A(0,0), B(4,0), C(5,3), D(1,3)?
    xy-2-1123456-2-112340(0, 0)(4, 0)(5, 3)(1, 3)
    (א)12✓
    (ב)16
    (ג)15
    (ד)9
  11. 11.ישר l עובר דרך ראשית הצירים. הנקודה (2,1) מרחקה 1 מהישר l. מהו שיפוע l?
    (א)4/3 בלבד
    (ב)0 או 4/3✓
    (ג)3/4 או 4/3
    (ד)0 בלבד
  12. 12.שלושה קודקודים A(0,0), B(6,0), C(2,4). מצא גובה הצלע BC.
    xy-2-11234567-2-1123450(0, 0)(6, 0)(2, 4)
    (א)3√2✓
    (ב)√17
    (ג)2√5
    (ד)4√2
  13. 13.מצא מרכז ומחצית-אלכסון של מלבן A(1,2), B(7,2), C(7,6), D(1,6).
    xy-2-112345678-2-112345670(1, 2)(7, 2)(7, 6)(1, 6)
    (א)מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=√13✓
    (ב)מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=5
    (ג)מרכז (3,4), מחצית-אלכסון=5
    (ד)מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=4
  14. 14.נקודות A(2,3), B(5,7), C(k,6) יוצרות משולש ישר-זווית ב-A. מה k?
    xy-2-1123456-2-1123456780(2, 3)(5, 7)
    (א)5
    (ב)−2✓
    (ג)0
    (ד)7
  15. 15.ישרים y=2x+1 ו-y=2x+5 הם שני צלעות של ריבוע. מה אורך הצלע?
    xy-6-5-4-3-2-1123456-10-8-6-4-22468101214160
    y = 2x + 1y = 2x + 5
    (א)4
    (ב)2√5
    (ג)4/√5✓
    (ד)2/√5
  16. 16.כדור A וכדור B. רדיוס כדור B גדול פי 1.5 מרדיוס כדור A. מה היחס בין נפחיהם V_A : V_B?
    (א)2 : 3
    (ב)1 : 1.5
    (ג)4 : 9
    (ד)8 : 27✓
  17. 17.כדור נתון שנפחו V. מתיכים אותו ויוצקים ממנו 8 כדורים זהים קטנים. מהו רדיוס כדור קטן יחסית לרדיוס המקורי R?
    (א)R/3
    (ב)R/4
    (ג)R/2✓
    (ד)R/8
  18. 18.כדור חסום בקובייה שאורך צלעה 10 ס״מ. מהו נפח הכדור (במונחי π)?
    (א)(500/3)π סמ״ק✓
    (ב)100π סמ״ק
    (ג)(4000/3)π סמ״ק
    (ד)1000π סמ״ק
  19. 19.כדור וגליל בעלי אותו רדיוס r ואותו גובה 2r (כלומר גובה הגליל שווה לקוטר הכדור). מה היחס בין נפח הכדור לנפח הגליל?
    (א)2 : 3✓
    (ב)1 : 2
    (ג)3 : 4
    (ד)1 : 1
  20. 20.נפח של כדור הוא 113.04 סמ״ק (כש־π ≈ 3.14). מהו רדיוס הכדור?
    (א)3 ס״מ✓
    (ב)9 ס״מ
    (ג)4 ס״מ
    (ד)6 ס״מ
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. 8 — בסיס AB=|5−1|=4 (על y=2). גובה=|6−2|=4. שטח=½×4×4=8.
  2. (5,3) — P = A + (2/3)×(B−A). x=1+(2/3)×6=1+4=5. y=1+(2/3)×3=1+2=3.
  3. y−b = −(a/b)(x−a) — שיפוע AB = b/a. ניצב: m=−a/b. דרך B(a,b): y−b=−(a/b)(x−a).
  4. √2/2 — ישר y=x: x−y=0. מרחק = |3−4|/√(1²+1²)=1/√2=√2/2.
  5. y = (3/2)x − 3.5 — נקודת אמצע M=(5,4). שיפוע AB=(2−6)/(8−2)=−2/3. ציר הסימטריה ניצב ל-AB: שיפוע=3/2. משוואה: y−4=(3/2)(x−5) → y=(3/2)x−7.5+4=(3/2)x−3.5.
  6. 6 — שיפוע AB = 3/4. עבור C: k/8=3/4 → k=6.
  7. 6/√10 — מרחק בין ישרים מקבילים ax+by+c₁=0, ax+by+c₂=0: |c₁−c₂|/√(a²+b²). כאן: 3x−y+1=0 ו-3x−y+7=0. מרחק=|1−7|/√(9+1)=6/√10.
  8. (1,4) — AB אופקי, BC אנכי. D צריך להיות ב-x=1 (כמו A) וב-y=4 (כמו C). D=(1,4).
  9. 4 — T=(0,t). |TA|²=9+t². |TB|²=25+(t−4)². שוויון: 9+t²=25+t²−8t+16. 9=41−8t. 8t=32. t=4. בדיקה: |TA|=√(9+16)=5, |TB|=√(25+0)=5 ✓.
  10. 12 — המרובע הוא טרפז. בסיסים: AB=4 (על y=0), DC=|5−1|=4 (על y=3). גובה=3. שטח=(4+4)/2×3=12.
  11. 0 או 4/3 — ישר: y=mx → mx−y=0. מרחק (2,1): |2m−1|/√(m²+1)=1. (2m−1)²=m²+1. 4m²−4m+1=m²+1. 3m²−4m=0. m(3m−4)=0. m=0 או m=4/3. בדיקה: m=0: |0−1|/1=1 ✓. m=4/3: |8/3−1|/√(16/9+1)=|5/3|/√(25/9)=5/3÷5/3=1 ✓.
  12. 3√2 — BC: שיפוע=(4−0)/(2−6)=−1. ישר BC: y=−x+6 → x+y−6=0. גובה מ-A(0,0) ל-BC: |0+0−6|/√(1²+1²)=6/√2=3√2.
  13. מרכז (4,4), מחצית-אלכסון=√13 — מרכז = נקודת אמצע אלכסון AC = ((1+7)/2,(2+6)/2)=(4,4). חצי אלכסון = מרחק מרכז ל-A = √((4−1)²+(4−2)²)=√(9+4)=√13.
  14. −2 — זווית ישרה ב-A → AB⊥AC. וקטור AB=(3,4). וקטור AC=(k−2,3). מכפלה פנימית=0: 3(k−2)+4×3=0 → 3k−6+12=0 → 3k=−6 → k=−2. בדיקה: AC=(−4,3). AB·AC=3×(−4)+4×3=−12+12=0 ✓.
  15. 4/√5 — המרחק בין שני ישרים מקבילים הוא הגובה. 2x−y+1=0 ו-2x−y+5=0. מרחק=|1−5|/√(4+1)=4/√5.
  16. 8 : 27 — יחס הרדיוסים הוא 1:1.5 = 2:3. יחס הנפחים הוא 2³:3³ = 8:27.
  17. R/2 — נפח כל כדור קטן הוא V/8. כיוון שהנפח תלוי ב־r³, הרדיוס הקטן הוא R·∛(1/8) = R/2.
  18. (500/3)π סמ״ק — כדור החסום בקובייה משיק לפאות הקובייה — קוטר הכדור שווה לאורך הצלע, כלומר 10 ס״מ. רדיוס = 5 ס״מ ולכן V = (4/3)·π·125 = (500/3)π.
  19. 2 : 3 — נפח כדור: (4/3)·π·r³. נפח גליל: π·r²·(2r) = 2π·r³. היחס הוא (4/3) : 2 = 4 : 6 = 2 : 3.
  20. 3 ס״מ — (4/3)·3.14·r³ = 113.04 ⟸ r³ ≈ 113.04/(4.18667) ≈ 27 ⟸ r = 3 ס״מ.