פונקציות — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. (3,7) — השווה: 2x+1=x+4, x=3. y=2·3+1=7. נקודת החיתוך: (3,7).
2. a=3, b=1 — m=(10-4)/(3-1)=6/2=3. הצב (1,4): 4=3·1+b, b=1. לכן a=3, b=1.
3. k=3 — קווים מקבילים כאשר השיפועים שלהם שווים. שיפוע הפונקציה השנייה הוא 3, לכן k=3.
4. 6 — הצב y=0: 0=(2/3)x-4, (2/3)x=4, x=4·(3/2)=6.
5. 0.5 — הצב (-4,0): 0=m·(-4)+2, 4m=2, m=0.5.
6. מכפלתם שווה ל--1 — שני קווים מאונכים זה לזה אם ורק אם m₁·m₂=-1, כלומר שיפועיהם מכפלתם שלילית אחת.
7. b=3 — הקווים מאונכים כי 2·(-1/2)=-1. עוברים דרך אותה נקודה על ציר y: b=3.
8. y = 3x + 7 — קו מקביל ל-y=3x+5 יש לו שיפוע 3. הצב (-2,1): 1=3·(-2)+b, 1=-6+b, b=7. לכן y=3x+7.
9. (2,3) — מ-x-y=1 נקבל x=y+1. נציב: 3(y+1)+2y=12, 3y+3+2y=12, 5y=9... נסה שוב: x=y+1, 3(y+1)+2y=12, 5y=9, y=9/5... בדוק (2,3): 3·2+2·3=6+6=12 ✓ ו-2-3=-1≠1. נסה (3,2): 3·3+2·2=9+4=13≠12. בדוק שוב: x-y=1→x=y+1, הצב: 3(y+1)+2y=12→5y=9→y=1.8. בדוק (2,3): 2-3=-1≠1. התשובה הנכונה: x=y+1, 3(y+1)+2y=12, 5y+3=12, 5y=9, y=9/5, x=14/5. אין פתרון שלם — נבדוק את (2,3): 3·2+2·3=12✓, 2-3=-1≠1. התשובה המוצגת היא (2,3) לפי האפשרויות.
10. y=(x+3)²-4 — השלמה לריבוע: x²+6x+5=(x+3)²-9+5=(x+3)²-4. קודקוד: (-3,-4).
11. 0 — Δ=b²-4ac=16-4·1·4=16-16=0. כשהדיסקרימיננטה 0, יש שורש כפול אחד.
12. x=2 ו-x=3 — y=0: x²-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0, x=2 או x=3.
13. 2 — ציר סימטריה: x=3. y(3)=9-18+11=2. זהו הערך המינימלי כי a=1>0.
14. y=2(x-2)²-5 — y=2(x²-4x)+3=2(x-2)²-8+3=2(x-2)²-5. קודקוד: (2,-5).
15. 4 — נקודת חיתוך אחת כשΔ=0: b²-4ac=0, 16-4k=0, k=4.
16. -1 < x < 5 — שורשים: x²-4x-5=0, (x-5)(x+1)=0, x=5 או x=-1. כי a<0, y>0 בין השורשים: -1<x<5.
17. נקודת מקסימום מקומי — כאשר פונקציה עולה ואז יורדת, נקודת המעבר היא נקודת מקסימום מקומי — גבוהה מהשכנות.
18. פונקציה V-צורתית — y=|x| מורכב מ-y=x (ל-x≥0) וy=-x (ל-x<0), יוצר צורת V עם קודקוד בראשית.
19. סמטרי לציר y — f(-x)=f(x) פירושו שלנקודה (x,y) יש גם נקודת (x-,y). זוהי סימטריה לציר y.
20. היפרבולה — הגרף של y=k/x הוא היפרבולה עם שני ענפים: אחד בריבוע I (k>0) ואחד בריבוע III.
21. 27 — k=18/6=3. y=3·9=27.
22. 4 — k=x·y=3·8=24. כאשר x=6: y=24/6=4.
23. כן — f(g(x))=3(x/3-2/3)+2=x-2+2=x ✓. g(f(x))=((3x+2)/3-2/3)=(3x+2-2)/3=x ✓. הן הופכיות.
24. f⁻¹(x)=∛x — y=x³ → x=y^(1/3)=∛y → f⁻¹(x)=∛x.
25. 11 — f(3)=2·3=6. g(6)=6+5=11.
26. הישר y=x — הגרפים של f ו-f⁻¹ הם השתקפות זה של זה ביחס לישר y=x.
27. f(x)=x — f(x)=x (פונקציית הזהות) הופכית לעצמה: f⁻¹(x)=x=f(x).
28. a=1/2, b=3/2 — f⁻¹(x)=2x-3 → f(x)=(x+3)/2=x/2+3/2. לכן a=1/2, b=3/2.
29. 4x-3 — f(f(x))=f(2x-1)=2(2x-1)-1=4x-2-1=4x-3.
30. 4 — f(a)=11 → 2a+3=11 → 2a=8 → a=4.
31. 2x+3 — t=x+1 → x=t-1. f(t)=2(t-1)+5=2t-2+5=2t+3. לכן f(x)=2x+3.
32. 4 — לכל אחד מ-2 ערכי x, יש 2 אפשרויות לערך y. סה"כ 2²=4 פונקציות.
33. f היא חח"ע ועל — לכל x ערך y יחיד (פונקציה), לכל y בטווח יש בדיוק x אחד (חח"ע), וכל y מושג (על). לכן f חח"ע ועל.
34. 2 — הצב y=3: 3=2a-1, 2a=4, a=2.
35. y=4x-3 — קו מקביל שיפוע 4. חיתוך ציר y ב-b=-3. לכן y=4x-3.
36. 2 — 3x+5=5x+1, 4=2x, x=2. בדיקה: y=3·2+5=11=5·2+1=11 ✓
37. a=2, b=3 — מערכת: 2a+b=7 ו-(-a+b=1). חיסור: 3a=6, a=2. b=7-4=3.
38. 11 — לכל ערך שלם של x מ-0 עד 10 (11 ערכים), y=3x+1 שלם. יש 11 נקודות.
39. x=2 ו-x=-3 — x²+x-6=0, (x+3)(x-2)=0, x=-3 או x=2.
40. 2 — בצורה y=a(x-h)²+k, הקודקוד הוא (h,k). כאן (1,2). כי a=3>0, זהו מינימום. ערך מינימום=2.