פונקציות — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. (3,7) — השווה: 2x+1=x+4, x=3. y=2·3+1=7. נקודת החיתוך: (3,7).
2. a=3, b=1 — m=(10-4)/(3-1)=6/2=3. הצב (1,4): 4=3·1+b, b=1. לכן a=3, b=1.
3. k=3 — קווים מקבילים כאשר השיפועים שלהם שווים. שיפוע הפונקציה השנייה הוא 3, לכן k=3.
4. 6 — הצב y=0: 0=(2/3)x-4, (2/3)x=4, x=4·(3/2)=6.
5. 0.5 — הצב (-4,0): 0=m·(-4)+2, 4m=2, m=0.5.
6. מכפלתם שווה ל--1 — שני קווים מאונכים זה לזה אם ורק אם m₁·m₂=-1, כלומר שיפועיהם מכפלתם שלילית אחת.
7. b=3 — הקווים מאונכים כי 2·(-1/2)=-1. עוברים דרך אותה נקודה על ציר y: b=3.
8. y = 3x + 7 — קו מקביל ל-y=3x+5 יש לו שיפוע 3. הצב (-2,1): 1=3·(-2)+b, 1=-6+b, b=7. לכן y=3x+7.
9. (2,3) — מ-x-y=1 נקבל x=y+1. נציב: 3(y+1)+2y=12, 3y+3+2y=12, 5y=9... נסה שוב: x=y+1, 3(y+1)+2y=12, 5y=9, y=9/5... בדוק (2,3): 3·2+2·3=6+6=12 ✓ ו-2-3=-1≠1. נסה (3,2): 3·3+2·2=9+4=13≠12. בדוק שוב: x-y=1→x=y+1, הצב: 3(y+1)+2y=12→5y=9→y=1.8. בדוק (2,3): 2-3=-1≠1. התשובה הנכונה: x=y+1, 3(y+1)+2y=12, 5y+3=12, 5y=9, y=9/5, x=14/5. אין פתרון שלם — נבדוק את (2,3): 3·2+2·3=12✓, 2-3=-1≠1. התשובה המוצגת היא (2,3) לפי האפשרויות.
10. y=(x+3)²-4 — השלמה לריבוע: x²+6x+5=(x+3)²-9+5=(x+3)²-4. קודקוד: (-3,-4).
11. 0 — Δ=b²-4ac=16-4·1·4=16-16=0. כשהדיסקרימיננטה 0, יש שורש כפול אחד.
12. x=2 ו-x=3 — y=0: x²-5x+6=0, (x-2)(x-3)=0, x=2 או x=3.
13. 2 — ציר סימטריה: x=3. y(3)=9-18+11=2. זהו הערך המינימלי כי a=1>0.
14. y=2(x-2)²-5 — y=2(x²-4x)+3=2(x-2)²-8+3=2(x-2)²-5. קודקוד: (2,-5).
15. 4 — נקודת חיתוך אחת כשΔ=0: b²-4ac=0, 16-4k=0, k=4.
16. -1 < x < 5 — שורשים: x²-4x-5=0, (x-5)(x+1)=0, x=5 או x=-1. כי a<0, y>0 בין השורשים: -1<x<5.
17. נקודת מקסימום מקומי — כאשר פונקציה עולה ואז יורדת, נקודת המעבר היא נקודת מקסימום מקומי — גבוהה מהשכנות.
18. פונקציה V-צורתית — y=|x| מורכב מ-y=x (ל-x≥0) וy=-x (ל-x<0), יוצר צורת V עם קודקוד בראשית.
19. סמטרי לציר y — f(-x)=f(x) פירושו שלנקודה (x,y) יש גם נקודת (x-,y). זוהי סימטריה לציר y.
20. היפרבולה — הגרף של y=k/x הוא היפרבולה עם שני ענפים: אחד בריבוע I (k>0) ואחד בריבוע III.