חזרה למבחן — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. C בלבד — A לא יכול לומר שהוא תמיד שקרן (פרדוקס), אז A שקרן. B אמר ש-A דובר אמת — שקר, אז B שקרן. C אמר ש-B שקרן — אמת! C דובר אמת.
2. רק תפוחים — כל התוויות שגויות. הקופסה עם 'תפוחים ותפוזים' אינה מכילה שניהם. שלפת תפוח — אז יש שם רק תפוחים (כי אם היה תפוז, הקופסה היתה מכילה שניהם, וזה לא יתכן כי התווית שגויה).
3. גיל — אם אלי אומר אמת — בועז שקרן (כי בועז אמר שאלי שקרן). אז גיל שאמר שבועז אומר אמת — טועה. סתירה. אם אלי שקרן — בועז צודק. גיל אמר שבועז אומר אמת — גיל גם צודק. אז גיל ובועז אומרים אמת — סתירה (רק אחד). אם בועז לסירוגין — אז גיל יכול לאמת. בניתוח מלא: גיל הוא האמת המוחלטת.
4. 51 — במעגל של 100 אנשים, ממול לאיש מספר k עומד k + 50 (אם k ≤ 50) או k − 50 (אם k > 50). ממול ל-1: 1 + 50 = 51.
5. X — אם X דובר אמת — Y משקר. אז Y (משקר) אומר 'Z אומר אמת' — כלומר Z משקר. אבל אז מי לפעמים? סתירה — X לא יכול להיות דובר אמת. אם X משקר — Y לא משקר. אם X לפעמים — Z אומר 'X לפעמים' ואמרה זו נכונה, ולכן Z דובר אמת. Y אומר 'Z אמת' — נכון, Y דובר אמת. אבל יש שני דוברי אמת — סתירה. הפתרון: X לפעמים, Y משקר, Z דובר אמת.
6. שלישי — B < C ו E < D ו B < A < D. A לא בקצה. סדר אפשרי: E, B, A, D, C (A = מיקום 3). A שלישי.
7. לא, זוהי סתירה תמיד — P AND (NOT P) תמיד שקרי בלי קשר לערך P: אם P = א, NOT P = ש, א AND ש = ש. אם P = ש, NOT P = א, ש AND א = ש.
8. לא, הוא תמיד אמיתי (טאוטולוגיה) — P OR (NOT P) הוא חוק ה'שלישי הנשלל': תמיד אמיתי. אם P = א, האמיתי, ואם P = ש, NOT P = א.
9. P AND (NOT Q) — NOT(P → Q) = NOT(NOT P OR Q) = P AND (NOT Q), לפי חוק דה-מורגן.
10. 10 — שתו לפחות אחד: 60 + 50 − 20 = 90. לא שתו: 100 − 90 = 10.