חדו״א — כיתה י"ב · 5 יח"ל

פתרונות

1. $5x^4$ — $x^2\cdot x^3=x^5$, ולכן $f'(x)=5x^4$. (בכלל המכפלה: $2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$.)
2. $e^x(x+1)$ — כלל המכפלה: $f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$.
3. $2x\ln x+x$ — כלל המכפלה: $f'(x)=2x\ln x+x^2\cdot\frac{1}{x}=2x\ln x+x$.
4. $4x-5$ — כלל המכפלה: $2(x-3)+(2x+1)\cdot 1=2x-6+2x+1=4x-5$.
5. $x^2 e^x(3+x)$ — $f'(x)=3x^2 e^x+x^3 e^x=x^2 e^x(3+x)$.
6. $4x^3$ — $f(x)=x^4-1$, ולכן $f'(x)=4x^3$. (גם בכלל המכפלה: $2x(x^2-1)+(x^2+1)2x=4x^3$.)
7. $\ln x+1$ — $f'(x)=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}=\ln x+1$.
8. $e^x(3x+1)$ — $f'(x)=3e^x+(3x-2)e^x=e^x(3+3x-2)=e^x(3x+1)$.
9. $3x^2+8x$ — $f(x)=x^3+4x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2+8x$.
10. $e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}e^x+\sqrt{x}\,e^x=e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)$.
11. $2(x+1)$ — $f'(x)=1\cdot(x+1)+(x+1)\cdot 1=2(x+1)=2x+2$.
12. $0$ — $f(x)=x\cdot\frac{1}{x}=1$ (קבוע), ולכן $f'(x)=0$.
13. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
14. $-\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x^{-1}$, ולכן $f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
15. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
16. $\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ — $\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$.
17. $-\frac{3}{x^2}$ — $f(x)=2+\frac{3}{x}=2+3x^{-1}$, ולכן $f'(x)=-3x^{-2}=-\frac{3}{x^2}$.
18. $\frac{1-\ln x}{x^2}$ — $\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$.
19. $-\frac{6}{x^3}$ — $f(x)=3x^{-2}$, ולכן $f'(x)=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
20. $\frac{-2}{(x-1)^2}$ — $\frac{1\cdot(x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=\frac{-2}{(x-1)^2}$.
21. $1-\frac{1}{x^2}$ — $f(x)=x+\frac{1}{x}$, ולכן $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$.
22. $\frac{-5}{(x-2)^2}$ — $f(x)=5(x-2)^{-1}$, ולכן $f'(x)=-5(x-2)^{-2}=\frac{-5}{(x-2)^2}$.
23. $\frac{1-x}{e^x}$ — $\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x)^2}=\frac{e^x(1-x)}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$.
24. $4$ — $f'(x)=\frac{4(x^2+1)-4x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}$. בנקודה $x=0$: $\frac{4}{1}=4$.
25. $6(2x+1)^2$ — כלל השרשרת: $3(2x+1)^2\cdot 2=6(2x+1)^2$.
26. $10x(x^2+1)^4$ — $5(x^2+1)^4\cdot 2x=10x(x^2+1)^4$.
27. $3e^{3x}$ — כלל השרשרת: $e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
28. $2xe^{x^2}$ — $f'(x)=e^{x^2}\cdot 2x=2xe^{x^2}$.
29. $\frac{1}{x}$ — $f'(x)=\frac{1}{3x}\cdot 3=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$.
30. $\frac{2x}{x^2+1}$ — $f'(x)=\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}$.
31. $\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$ — $f(x)=(2x+5)^{1/2}$, $f'(x)=\frac{1}{2}(2x+5)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.
32. $-4(3-x)^3$ — $4(3-x)^3\cdot(-1)=-4(3-x)^3$.
33. $-e^{-x}$ — $f'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}$.
34. $\frac{5}{5x-1}$ — $f'(x)=\frac{(5x-1)'}{5x-1}=\frac{5}{5x-1}$.
35. $2(x^3-2x)(3x^2-2)$ — $f'(x)=2(x^3-2x)\cdot(3x^2-2)$.
36. $2e^{2x+1}$ — $f'(x)=e^{2x+1}\cdot 2=2e^{2x+1}$.
37. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — $f(x)=(x+2)^{-2}$, $f'(x)=-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
38. $\frac{3}{x}$ — $f'(x)=\frac{3x^2}{x^3}=\frac{3}{x}$. (גם: $\ln(x^3)=3\ln x$, נגזרת $\frac{3}{x}$.)
39. $(2x-3)e^{x^2-3x}$ — $f'(x)=e^{x^2-3x}\cdot(2x-3)$.
40. $\frac{4}{5}$ — $f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$. בנקודה $x=4$: $\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$.