אלגברה — כיתה י"ב · 5 יח"ל

פתרונות

1. $-1$ — לפי הגדרת היחידה המדומה $i^2=-1$.
2. $3+2i$ — מחברים חלק ממשי וחלק מדומה בנפרד: $(2+1)+(3-1)i=3+2i$.
3. $5$ — $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
4. $x=5$ — $32 = 2^5$, ולכן $2^x = 2^5$ ומכאן $x=5$.
5. $x=3$ — $81=3^4$, ולכן $x+1=4$ ⇐ $x=3$.
6. $x=1.5$ — $125=5^3$, ולכן $2x=3$ ⇐ $x=1.5$.
7. $x=1.5$ — $4^x=2^{2x}$ ו-$8=2^3$, ולכן $2x=3$ ⇐ $x=1.5$.
8. $x=-3$ — $\frac{1}{8}=2^{-3}$, ולכן $x=-3$.
9. $x=3$ — בבסיס 3: $3^{2x}=3^{3(x-1)}$, ולכן $2x=3x-3$ ⇐ $x=3$.
10. $x=1, x=2$ — $x^2-3x=-2$ ⇐ $x^2-3x+2=0$ ⇐ $(x-1)(x-2)=0$ ⇐ $x=1$ או $x=2$.
11. $x=0, x=2$ — הצבה $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$ ⇐ $(t-1)(t-4)=0$ ⇐ $t=1$ או $t=4$. אז $2^x=1$ ⇐ $x=0$, או $2^x=4$ ⇐ $x=2$.
12. $x=0, x=2$ — $t=3^x$: $t^2-10t+9=0$ ⇐ $(t-1)(t-9)=0$ ⇐ $t=1$ ($x=0$) או $t=9$ ($x=2$).
13. אין פתרון — פונקציה מעריכית $2^x$ חיובית תמיד, ולכן לעולם אינה שווה 0. אין פתרון.
14. $x=32$ — לפי הגדרת הלוגריתם: $x=2^5=32$.
15. $x=10$ — $x-1=3^2=9$ ⇐ $x=10$.
16. $x=5$ — $\log[x(x-3)]=1$ ⇐ $x(x-3)=10$ ⇐ $x^2-3x-10=0$ ⇐ $(x-5)(x+2)=0$. $x=-2$ נפסל (תחום הגדרה $x>3$), ולכן $x=5$.
17. $x=2$ — $\log_2[x(x+2)]=3$ ⇐ $x(x+2)=8$ ⇐ $x^2+2x-8=0$ ⇐ $(x-2)(x+4)=0$. $x=-4$ נפסל ($x>0$), ולכן $x=2$.
18. $5$ — $\log_2 8 = 3$ ו-$\log_3 9 = 2$, ולכן הסכום $3+2=5$.
19. $x=5$ — בסיסים שווים ⇐ $2x-1=x+4$ ⇐ $x=5$ (בתחום ההגדרה).
20. $-4$ — $\frac{1}{16}=2^{-4}$, ולכן $\log_2 \frac{1}{16} = -4$.
21. $x=8$ — אגף ימין: $\log_3 64$. אגף שמאל: $\log_3 x^2$. אז $x^2=64$ ⇐ $x=8$ ($x>0$).
22. $7$ — לפי חוק הלוגריתם $\log_a a^n = n$, ולכן $\log_a a^7 = 7$.
23. $x=2$ — $x=4^{1/2}=\sqrt{4}=2$.
24. $x=2,y=3$ או $x=3,y=2$ — x ו-y הם שורשי $t^2-5t+6=0$ ⇐ $(t-2)(t-3)=0$, ולכן הזוג הוא 2 ו-3.
25. $(2,4)$ ו-$(-1,1)$ — $x^2=x+2$ ⇐ $x^2-x-2=0$ ⇐ $(x-2)(x+1)=0$ ⇐ $x=2$ ($y=4$) או $x=-1$ ($y=1$).
26. $x=3,y=2$ — $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=1\cdot(x+y)=5$ ⇐ $x+y=5$. עם $x-y=1$: $x=3, y=2$.
27. $x=3,y=4$ או $x=4,y=3$ — $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ ⇐ $49=25+2xy$ ⇐ $xy=12$. עם $x+y=7$: שורשי $t^2-7t+12=0$ הם 3 ו-4.
28. אין פתרון — $x^2+1=0$ ⇐ $x^2=-1$ — אין פתרון ממשי (הפרבולה כולה מעל ציר x).
29. $x=\pm 3i$ — $x^2=-9$ ⇐ $x=\pm\sqrt{-9}=\pm 3i$.
30. $x=1\pm 2i$ — דיסקרימיננטה $\Delta=4-20=-16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.
31. $x=-2\pm 3i$ — $\Delta=16-52=-36$. $x=\frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i$.
32. $5-3i$ — מחברים חלק ממשי וחלק מדומה בנפרד: $(2+3)+(1-4)i=5-3i$.
33. $2i$ — $(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i$.
34. $x=5, x=1$ — $2x-6=4$ ⇐ $x=5$, או $2x-6=-4$ ⇐ $x=1$.
35. $-2<x<8$ — $-5<x-3<5$ ⇐ $-2<x<8$.
36. $x\leq -4$ או $x\geq 2$ — $|A|\geq a$ ⇐ $A\geq a$ או $A\leq -a$. $x+1\geq 3$ ⇐ $x\geq 2$, או $x+1\leq -3$ ⇐ $x\leq -4$.
37. $x=\pm 4$ — $3x=\pm 12$ ⇐ $x=\pm 4$.
38. אין פתרון — ערך מוחלט אינו יכול להיות שלילי, ולכן אין פתרון.
39. $2<x<3$ — $(x-2)(x-3)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $2<x<3$.
40. $x\leq -2$ או $x\geq 2$ — $(x-2)(x+2)\geq 0$ — חיובי או אפס מחוץ לשורשים, ולכן $x\leq -2$ או $x\geq 2$.