אלגברה — כיתה י"ב · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $x=1, x=2$ — $x^2-3x=-2$ ⇐ $x^2-3x+2=0$ ⇐ $(x-1)(x-2)=0$ ⇐ $x=1$ או $x=2$.
2. $x=0, x=2$ — הצבה $t=2^x$: $t^2-5t+4=0$ ⇐ $(t-1)(t-4)=0$ ⇐ $t=1$ או $t=4$. אז $2^x=1$ ⇐ $x=0$, או $2^x=4$ ⇐ $x=2$.
3. $x=0, x=2$ — $t=3^x$: $t^2-10t+9=0$ ⇐ $(t-1)(t-9)=0$ ⇐ $t=1$ ($x=0$) או $t=9$ ($x=2$).
4. $x=5$ — $\log[x(x-3)]=1$ ⇐ $x(x-3)=10$ ⇐ $x^2-3x-10=0$ ⇐ $(x-5)(x+2)=0$. $x=-2$ נפסל (תחום הגדרה $x>3$), ולכן $x=5$.
5. $x=2$ — $\log_2[x(x+2)]=3$ ⇐ $x(x+2)=8$ ⇐ $x^2+2x-8=0$ ⇐ $(x-2)(x+4)=0$. $x=-4$ נפסל ($x>0$), ולכן $x=2$.
6. $x=8$ — אגף ימין: $\log_3 64$. אגף שמאל: $\log_3 x^2$. אז $x^2=64$ ⇐ $x=8$ ($x>0$).
7. $x=3,y=2$ — $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=1\cdot(x+y)=5$ ⇐ $x+y=5$. עם $x-y=1$: $x=3, y=2$.
8. $x=3,y=4$ או $x=4,y=3$ — $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ ⇐ $49=25+2xy$ ⇐ $xy=12$. עם $x+y=7$: שורשי $t^2-7t+12=0$ הם 3 ו-4.
9. $x=1\pm 2i$ — דיסקרימיננטה $\Delta=4-20=-16$. $x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$.
10. $x=-2\pm 3i$ — $\Delta=16-52=-36$. $x=\frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=\frac{-4\pm 6i}{2}=-2\pm 3i$.
11. $x\leq -4$ או $x\geq 2$ — $|A|\geq a$ ⇐ $A\geq a$ או $A\leq -a$. $x+1\geq 3$ ⇐ $x\geq 2$, או $x+1\leq -3$ ⇐ $x\leq -4$.
12. $x<-2$ או $x>1$ — המנה חיובית כאשר המונה והמכנה בעלי אותו סימן: שניהם חיוביים ($x>1$) או שניהם שליליים ($x<-2$).
13. $1<x<4$ — $(x-1)(x-4)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $1<x<4$.
14. $2<x<5$ — $(x-2)(x-5)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $2<x<5$.
15. $1<x<6$ — $(x-1)(x-6)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $1<x<6$.
16. $3<x<7$ — $(x-3)(x-7)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $3<x<7$.
17. $2<x<8$ — $(x-2)(x-8)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $2<x<8$.
18. $1<x<5$ — $(x-1)(x-5)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $1<x<5$.
19. $4<x<9$ — $(x-4)(x-9)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $4<x<9$.
20. $2<x<6$ — $(x-2)(x-6)<0$ — שלילי בין השורשים, ולכן $2<x<6$.