חדו״א — כיתה י"ב · 4 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $-\frac{1}{2x^{2}} + c$ — $\frac{1}{x}^{3} = x^{-3}. \int x^{-3}dx = x^{-2}/(-2) + c = -\frac{1}{2x^{2}} + c$.
2. $-\frac{2}{x} + c$ — $\frac{2}{x}^{2} = 2x^{-2}. \int 2x^{-2}dx = 2 \cdot x^{-1}/(-1) + c = -\frac{2}{x} + c$.
3. $x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$ — $\int x^{2}dx = x^{3}/3, \int x^{-2}dx = -\frac{1}{x}$. סהכ: $x^{3}/3 - \frac{1}{x} + c$.
4. $2x^{\frac{3}{2}} + c$ — $3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}. \int 3x^{\frac{1}{2}}dx = 3 \cdot (\frac{2}{3})x^{\frac{3}{2}} + c = 2x^{\frac{3}{2}} + c$.
5. $x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,5): 1 + c = 5$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 4$.
6. $x^{3} + 2$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + c$. מציבים את הנקודה $(2,10): 8 + c = 10$, ולכן $c = 2$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + 2$.
7. $3x^{2} + x + 3$ — מאנטגרים: $f(x) = 3x^{2} + x + c$. מציבים את הנקודה $(0,3): 0 + c = 3$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 3x^{2} + x + 3$.
8. $2x^{2} - 2$ — מאנטגרים: $f(x) = 2x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,0): 2 + c = 0$, ולכן $c = -2$. מסקנה: $f(x) = 2x^{2} - 2$.
9. $x^{2} + 3x$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} + 3x + c$. מציבים את הנקודה $(1,4): 4 + c = 4$, ולכן $c = 0$. מסקנה: $f(x) = x^{2} + 3x$.
10. x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = x + c$. מציבים את הנקודה $(2,5): 2 + c = 5$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = x + 3$.
11. $x^{3} + x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{3} + x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(1,6): 2 + c = 6$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{3} + x^{2} + 4$.
12. $4x^{2} + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = 4x^{2} + c$. מציבים את הנקודה $(2,20): 16 + c = 20$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = 4x^{2} + 4$.
13. $x^{2} - 4x + 4$ — מאנטגרים: $f(x) = x^{2} - 4x + c$. מציבים את הנקודה $(3,1): -3 + c = 1$, ולכן $c = 4$. מסקנה: $f(x) = x^{2} - 4x + 4$.
14. 5x + 3 — מאנטגרים: $f(x) = 5x + c$. מציבים את הנקודה $(1,8): 5 + c = 8$, ולכן $c = 3$. מסקנה: $f(x) = 5x + 3$.
15. 9 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9$.
16. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
17. 8 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = \frac{1}{2}x^{2}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(4) - F(0) = 8 - 0 = 8$.
18. 14 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = 2x^{3}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(2) - F(1) = 16 - 2 = 14$.
19. 12 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{2} + x$. לפי הנוסחה היסודית: $F(3) - F(0) = 12 - 0 = 12$.
20. 1 — הפונקציה הקדומה: $F(x) = x^{4}$. לפי הנוסחה היסודית: $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$.