חדו״א — כיתה י"ב · 3 יח"ל (קל)

פתרונות

1. $6x$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $3\cdot2=6$, ולכן $f'(x)=6x$.
2. $15x^{2}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $5\cdot3=15$, ולכן $f'(x)=15x^{2}$.
3. $4x^{3}$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $1\cdot4=4$, ולכן $f'(x)=4x^{3}$.
4. $14x$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $7\cdot2=14$, ולכן $f'(x)=14x$.
5. $18x$ — לפי כלל הגזירה $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$. כאן $9\cdot2=18$, ולכן $f'(x)=18x$.
6. $6x+5$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=6x+5$.
7. $6x^{2}-8x$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=6x^{2}-8x$.
8. $3x^{2}-6$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=3x^{2}-6$.
9. $8x-3$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=8x-3$.
10. $12x$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=12x$.
11. $14x-2$ — גוזרים כל איבר בנפרד: $\frac{d}{dx}(ax^n)=nax^{n-1}$, והקבוע מתאפס. מתקבל $f'(x)=14x-2$.
12. $5$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=4x-3$. מציבים $x=2$: $f'(2)=5$.
13. $11$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=2x+5$. מציבים $x=3$: $f'(3)=11$.
14. $-2$ — תחילה גוזרים: $f'(x)=8x-2$. מציבים $x=0$: $f'(0)=-2$.
15. $6$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע הוא $f'(3)=6$.
16. $4$ — שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה. $f'(x)=6x-2$, ולכן השיפוע הוא $f'(1)=4$.
17. $x=2$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x-4$. פתרון: $x=2$.
18. $x=-3$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x+6$. פתרון: $x=-3$.
19. $x=-1$ — נקודת קיצון מתקבלת כאשר $f'(x)=0$. כאן $f'(x)=2x+2$. פתרון: $x=-1$.
20. מינימום — מקדם $x^2$ הוא $1$. כאשר המקדם חיובי, הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ולכן נקודת הקיצון היא מינימום.
21. מקסימום — מקדם $x^2$ הוא $-1$. כאשר המקדם שלילי, הפרבולה פתוחה כלפי מטה ולכן נקודת הקיצון היא מקסימום.
22. $x>2$ — $f'(x)=2x-4$. הפונקציה עולה כאשר $f'(x)>0$. עבור פרבולה זו ($a=1$) התחום העולה הוא $x>2$.
23. $x>-3$ — $f'(x)=2x+6$. הפונקציה עולה כאשר $f'(x)>0$. עבור פרבולה זו ($a=1$) התחום העולה הוא $x>-3$.
24. יורדת — $f'(x)=2x-4$ ולכן $f'(0)=-4$. כיוון ש-$f'(0)<0$, הפונקציה יורדת שם.
25. עולה — $f'(x)=2x-4$ ולכן $f'(3)=2$. כיוון ש-$f'(3)>0$, הפונקציה עולה שם.
26. $(0,\,4)$ — חיתוך עם ציר $y$ מתקבל בהצבת $x=0$: $f(0)=4$.
27. $(0,\,-5)$ — חיתוך עם ציר $y$ מתקבל בהצבת $x=0$: $f(0)=-5$.
28. $(0,\,0)$ — חיתוך עם ציר $y$ מתקבל בהצבת $x=0$: $f(0)=0$.
29. $(0,\,7)$ — חיתוך עם ציר $y$ מתקבל בהצבת $x=0$: $f(0)=7$.
30. $x=-3,\ x=3$ — פותרים $f(x)=0$, כלומר $x^{2}-9=0$. הפתרונות הם $x=-3$ ו-$x=3$.
31. כן, הנקודה על הגרף — מציבים $x=2$: $f(2)=5$. מכיוון ש-$5=5$, הנקודה אכן על הגרף.
32. $x^{2}+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $x^{2}+C$.
33. $x^{3}+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $x^{3}+C$.
34. $x^{4}+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $x^{4}+C$.
35. $3x^{2}+2x+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $3x^{2}+2x+C$.
36. $x^{2}-3x+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $x^{2}-3x+C$.
37. $2x+C$ — לפי הכלל $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$, מאנטגרים כל איבר ומוסיפים קבוע אינטגרציה: $2x+C$.
38. $9$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=x^{2}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{3}f=F(3)-F(0)=9$.
39. $8$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=x^{3}$. לפי הנוסחה $\int_{0}^{2}f=F(2)-F(0)=8$.
40. $6$ — הפונקציה הקדומה היא $F(x)=2x$. לפי הנוסחה $\int_{1}^{4}f=F(4)-F(1)=6$.