חדו״א — כיתה י"א · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $f'(x)=12x^2-9=0$ נותן $x^2=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$, ולכן $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
2. $\frac{1}{3}x^{-2/3}$ — $(x^{1/3})'=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}$.
3. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
4. $2x$ — $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$. כאשר $h\to 0$ מתקבל $2x$.
5. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
6. $\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2x(x-1)-x^2\cdot 1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
7. $\frac{-7}{(x-3)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2(x-3)-(2x+1)\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}$.
8. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
9. $\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$.
10. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — נכתוב $f(x)=(x+2)^{-2}$. כלל השרשרת: $-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
11. $5(x^3-x)^4(3x^2-1)$ — כלל השרשרת: $5(x^3-x)^4\cdot(3x^2-1)$.
12. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
13. $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$ — כלל המכפלה: $1\cdot\sqrt{x+1}+x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1}}=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}$.
14. $\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה (או שרשרת על $(x^2+1)^{-1}$): $\frac{0\cdot(x^2+1)-1\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$.
15. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
16. $\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$ — נפשט: $f(x)=x^{3/2}+2x^{1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}+2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.
17. $6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$ — כלל מכפלה: $u=(2x+1)^3,\ u'=6(2x+1)^2$; $v=x-1,\ v'=1$. אז $f'=6(2x+1)^2(x-1)+(2x+1)^3$.
18. $\frac{4x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x[(x^2+1)-(x^2-1)]}{(x^2+1)^2}=\frac{2x\cdot 2}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}$.
19. $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$, ולכן הנגזרת $-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
20. $\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.