אלגברה — כיתה י"א · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $k=\pm6$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot9=0$, כלומר $k^2=36$, ולכן $k=\pm6$.
2. $k=\pm8$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot16=0$, כלומר $k^2=64$, ולכן $k=\pm8$.
3. $k=\pm10$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot25=0$, כלומר $k^2=100$, ולכן $k=\pm10$.
4. $k=\pm12$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot4\cdot9=0$, כלומר $k^2=144$, ולכן $k=\pm12$.
5. $k=\pm4$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot4=0$, כלומר $k^2=16$, ולכן $k=\pm4$.
6. $k<9$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $36-4k>0$, ומכאן $k<9$.
7. $k<16$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $64-4k>0$, ומכאן $k<16$.
8. $k<4$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $16-4k>0$, ומכאן $k<4$.
9. $k<25$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $100-4k>0$, ומכאן $k<25$.
10. $k<9$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $36-4k>0$, ומכאן $k<9$.
11. $x=-2$ — בתנאי $x\neq 2$ מכפילים ומקבלים $x^2=4$, כלומר $x=\pm2$. הפתרון $x=2$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-2$.
12. $x=-3$ — בתנאי $x\neq 3$ מכפילים ומקבלים $x^2=9$, כלומר $x=\pm3$. הפתרון $x=3$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-3$.
13. $x=-1$ — בתנאי $x\neq 1$ מכפילים ומקבלים $x^2=1$, כלומר $x=\pm1$. הפתרון $x=1$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-1$.
14. $x=-4$ — בתנאי $x\neq 4$ מכפילים ומקבלים $x^2=16$, כלומר $x=\pm4$. הפתרון $x=4$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-4$.
15. $x=-5$ — בתנאי $x\neq 5$ מכפילים ומקבלים $x^2=25$, כלומר $x=\pm5$. הפתרון $x=5$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-5$.
16. $x=9$ — דרוש $x-5\ge 0$. בריבוע: $x+7=(x-5)^2$, מתקבל $x^2-11x+18=0$ עם פתרונות $x=9,\ x=2$. רק $x=9$ מקיים $x\ge 5$.
17. $x=3$ — דרוש $x-1\ge 0$. בריבוע: $x+1=(x-1)^2$, מתקבל $x^2-3x0=0$ עם פתרונות $x=3,\ x=0$. רק $x=3$ מקיים $x\ge 1$.
18. $x=5$ — דרוש $x-1\ge 0$. בריבוע: $x+11=(x-1)^2$, מתקבל $x^2-3x-10=0$ עם פתרונות $x=5,\ x=-2$. רק $x=5$ מקיים $x\ge 1$.
19. $(x,y)=(3,2)\ ;\ (2,3)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-5t+6=0$, כלומר $t=3$ או $t=2$. לכן הפתרונות הם $(3,2)$ ו-$(2,3)$.
20. $(x,y)=(4,3)\ ;\ (3,4)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-7t+12=0$, כלומר $t=4$ או $t=3$. לכן הפתרונות הם $(4,3)$ ו-$(3,4)$.
21. $(x,y)=(3,1)\ ;\ (1,3)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-4t+3=0$, כלומר $t=3$ או $t=1$. לכן הפתרונות הם $(3,1)$ ו-$(1,3)$.
22. $(x,y)=(5,3)\ ;\ (3,5)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-8t+15=0$, כלומר $t=5$ או $t=3$. לכן הפתרונות הם $(5,3)$ ו-$(3,5)$.
23. $(x,y)=(4,2)\ ;\ (2,4)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-6t+8=0$, כלומר $t=4$ או $t=2$. לכן הפתרונות הם $(4,2)$ ו-$(2,4)$.
24. $(x,y)=(5,4)\ ;\ (4,5)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-9t+20=0$, כלומר $t=5$ או $t=4$. לכן הפתרונות הם $(5,4)$ ו-$(4,5)$.
25. $(x,y)=(2,1)\ ;\ (1,2)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-3t+2=0$, כלומר $t=2$ או $t=1$. לכן הפתרונות הם $(2,1)$ ו-$(1,2)$.
26. $(x,y)=(7,3)\ ;\ (3,7)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-10t+21=0$, כלומר $t=7$ או $t=3$. לכן הפתרונות הם $(7,3)$ ו-$(3,7)$.
27. $(x,y)=(4,1)\ ;\ (1,4)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-5t+4=0$, כלומר $t=4$ או $t=1$. לכן הפתרונות הם $(4,1)$ ו-$(1,4)$.
28. $(x,y)=(6,5)\ ;\ (5,6)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-11t+30=0$, כלומר $t=6$ או $t=5$. לכן הפתרונות הם $(6,5)$ ו-$(5,6)$.
29. $\sin 2\alpha=\frac{24}{25}$ — זווית חדה $\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{4}{5}$. לכן $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
30. $\sin 2\alpha=\frac{120}{169}$ — זווית חדה $\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{12}{13}$. לכן $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{12}{13}=\frac{120}{169}$.
31. $\sin 2\alpha=\frac{240}{289}$ — זווית חדה $\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{15}{17}$. לכן $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{8}{17}\cdot\dfrac{15}{17}=\frac{240}{289}$.
32. $\sin 2\alpha=\frac{24}{25}$ — זווית חדה $\Rightarrow \cos\alpha=\dfrac{3}{5}$. לכן $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{3}{5}=\frac{24}{25}$.
33. $\cos 2\alpha=\frac{7}{25}$ — $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$, ולכן $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\dfrac{16-9}{25}=\frac{7}{25}$.
34. $\cos 2\alpha=\frac{119}{169}$ — $\cos\alpha=\dfrac{12}{13}$, ולכן $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\dfrac{144-25}{169}=\frac{119}{169}$.
35. $\cos 2\alpha=\frac{161}{289}$ — $\cos\alpha=\dfrac{15}{17}$, ולכן $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\dfrac{225-64}{289}=\frac{161}{289}$.
36. $\cos 2\alpha=-\frac{7}{25}$ — $\cos\alpha=\dfrac{3}{5}$, ולכן $\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\dfrac{9-16}{25}=-\frac{7}{25}$.
37. $9\sqrt{3}$ — $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot36\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$.
38. $25$ — $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot10\cdot10\cdot\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot100\cdot\frac{1}{2}=25$.
39. $20$ — $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot8\cdot5\cdot\sin 90^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot40\cdot1=20$.
40. $14$ — $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot14\cdot4\cdot\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}\cdot56\cdot\frac{1}{2}=14$.