אלגברה — כיתה י"א · 5 יח"ל (קשה)

פתרונות

1. $k=\pm6$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot9=0$, כלומר $k^2=36$, ולכן $k=\pm6$.
2. $k=\pm8$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot16=0$, כלומר $k^2=64$, ולכן $k=\pm8$.
3. $k=\pm10$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot25=0$, כלומר $k^2=100$, ולכן $k=\pm10$.
4. $k=\pm12$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot4\cdot9=0$, כלומר $k^2=144$, ולכן $k=\pm12$.
5. $k=\pm4$ — שורש כפול כאשר $\Delta=0$: $k^2-4\cdot1\cdot4=0$, כלומר $k^2=16$, ולכן $k=\pm4$.
6. $k<9$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $36-4k>0$, ומכאן $k<9$.
7. $k<16$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $64-4k>0$, ומכאן $k<16$.
8. $k<4$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $16-4k>0$, ומכאן $k<4$.
9. $k<25$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $100-4k>0$, ומכאן $k<25$.
10. $k<9$ — דרושים $\Delta>0$: $b^2-4k>0$, כלומר $36-4k>0$, ומכאן $k<9$.
11. $x=-2$ — בתנאי $x\neq 2$ מכפילים ומקבלים $x^2=4$, כלומר $x=\pm2$. הפתרון $x=2$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-2$.
12. $x=-3$ — בתנאי $x\neq 3$ מכפילים ומקבלים $x^2=9$, כלומר $x=\pm3$. הפתרון $x=3$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-3$.
13. $x=-1$ — בתנאי $x\neq 1$ מכפילים ומקבלים $x^2=1$, כלומר $x=\pm1$. הפתרון $x=1$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-1$.
14. $x=-4$ — בתנאי $x\neq 4$ מכפילים ומקבלים $x^2=16$, כלומר $x=\pm4$. הפתרון $x=4$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-4$.
15. $x=-5$ — בתנאי $x\neq 5$ מכפילים ומקבלים $x^2=25$, כלומר $x=\pm5$. הפתרון $x=5$ נפסל כי הוא מאפס את המכנה, לכן רק $x=-5$.
16. $x=9$ — דרוש $x-5\ge 0$. בריבוע: $x+7=(x-5)^2$, מתקבל $x^2-11x+18=0$ עם פתרונות $x=9,\ x=2$. רק $x=9$ מקיים $x\ge 5$.
17. $x=3$ — דרוש $x-1\ge 0$. בריבוע: $x+1=(x-1)^2$, מתקבל $x^2-3x0=0$ עם פתרונות $x=3,\ x=0$. רק $x=3$ מקיים $x\ge 1$.
18. $x=5$ — דרוש $x-1\ge 0$. בריבוע: $x+11=(x-1)^2$, מתקבל $x^2-3x-10=0$ עם פתרונות $x=5,\ x=-2$. רק $x=5$ מקיים $x\ge 1$.
19. $(x,y)=(3,2)\ ;\ (2,3)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-5t+6=0$, כלומר $t=3$ או $t=2$. לכן הפתרונות הם $(3,2)$ ו-$(2,3)$.
20. $(x,y)=(4,3)\ ;\ (3,4)$ — $x,y$ הם שורשי $t^2-7t+12=0$, כלומר $t=4$ או $t=3$. לכן הפתרונות הם $(4,3)$ ו-$(3,4)$.