מבחנים מיוחדים — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. x=3, x=1/2 — נשתמש בנוסחת השורשים: x = (7 ± √(49-24))/4 = (7 ± 5)/4. לכן x=3 או x=1/2.
2. 12x³ - 6x² + 5 — נגזרת של xⁿ היא nxⁿ⁻¹. נגזרת קבוע = 0. לכן f'(x) = 12x³ - 6x² + 5.
3. x<2 או x>3 — שורשי המשוואה x²-5x+6=0 הם x=2, x=3. הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן חיובית מחוץ לשורשים.
4. מקסימום ב-x=-1, מינימום ב-x=3 — f'(x) = 3x²-6x-9 = 3(x-3)(x+1). f'=0 ב-x=-1 וב-x=3. f''(x)=6x-6: ב-x=-1 שלילי (מקס), ב-x=3 חיובי (מין).
5. ירידה של 4% — אם המחיר ההתחלתי P, אחרי עלייה: 1.2P. אחרי ירידה: 1.2P × 0.8 = 0.96P. ירידה כוללת של 4%.
6. 11,576 ₪ — ריבית דריבית: A = P(1+r)ⁿ = 10000 × 1.05³ = 10000 × 1.157625 ≈ 11,576 ₪.
7. 20 שנים — נסמן x מספר השנים. 40+x = 2(10+x) → 40+x = 20+2x → x=20.
8. 60 קמ"ש — v המהירות. 240/v - 240/(v+20) = 1. פותרים: 240(v+20)-240v = v(v+20) → 4800 = v²+20v → v²+20v-4800=0 → v=60.
9. 15 שעות — 1/10 + 1/x = 1/6 → 1/x = 1/6 - 1/10 = (5-3)/30 = 2/30 = 1/15. לכן x=15.
10. x ≠ 3 — המכנה לא יכול להיות 0: x-3 ≠ 0, כלומר x ≠ 3. (למרות שאפשר לצמצם, התחום נשאר ללא 3.)
11. y = -2x + 2 — f(1)=1-4+3=0. f'(x)=2x-4, f'(1)=-2. משיק: y-0 = -2(x-1) → y = -2x+2.
12. 37° — tan α = 3/4 = 0.75. α = arctan(0.75) ≈ 36.87° ≈ 37°.
13. 5 — d = √((5-2)² + (7-3)²) = √(9+16) = √25 = 5.
14. (2, 1) — אמצע = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) = ((-2+6)/2, (4-2)/2) = (2, 1).
15. x=3, y=1 — חיבור: 3x=9 → x=3. הצבה: y=2x-7+... מ-x-y=2: y=x-2=1.
16. x=7 — lpg₂(x+1) = 3 → x+1 = 2³ = 8 → x=7.
17. (x-2)/(x-3) — x²-4 = (x-2)(x+2). x²-x-6 = (x-3)(x+2). צמצום (x+2) → (x-2)/(x-3).
18. 8 ו-12 — x+y=20, xy=96. הם שורשי t²-20t+96=0. Δ=400-384=16, t=(20±4)/2 = 12 או 8.
19. 150 ₪ — אם X המחיר המקורי, X × 1.2 = 180 → X = 150.
20. y = 3x - 1 — שיפוע m = (8-2)/(3-1) = 3. y - 2 = 3(x-1) → y = 3x - 1.
21. (2,0) ו-(4,0) — פתרון x²-6x+8=0: פירוק (x-2)(x-4)=0 → x=2, x=4.
22. x=3 — אסימפטוטה אנכית במקום שבו המכנה מתאפס: x-3=0 → x=3.
23. x=6 או x=-1 — 2x-5 = 7 → x=6. או 2x-5 = -7 → x=-1.
24. 12x - 13 — פתיחה: f=6x²-15x+2x-5 = 6x²-13x-5. f' = 12x-13.
25. x<-2 או x≥1 — המנה ≥ 0 כאשר שני הגורמים בעלי אותו סימן או המונה=0. אסור x=-2 (מכנה=0). x≥1 או x<-2.
26. 20 — S = (1/2)·AB·AC·sin A = (1/2)·10·8·sin 30° = 40·0.5 = 20.
27. 210 ₪ — 200 × 0.75 × 1.4 = 200 × 1.05 = 210 ₪.
28. x=4 — 32 = 2⁵, לכן 2^(x+1) = 2⁵ → x+1 = 5 → x=4.
29. 3x + 4y = 25 — משיק למעגל x²+y²=r² בנקודה (x₀,y₀): x₀x + y₀y = r². כאן: 3x + 4y = 25.
30. (2, 3) — x של קודקוד = -b/2a = 8/4 = 2. y = 2(4)-16+11 = 3. נקודה (2, 3).
31. 12 — פיתגורס: a² + 5² = 13² → a² = 169-25 = 144 → a = 12.
32. x<1 או x>3 — f'(x) = 3x²-12x+9 = 3(x-1)(x-3). f'>0 כאשר x<1 או x>3.
33. 80 — (75+85+x)/3 = 80 → 160+x = 240 → x=80.
34. 5/8 — סיכוי = מועיל/אפשרי = 5/(5+3) = 5/8.
35. 40 — S = (a+b)/2 × h = (6+10)/2 × 5 = 8 × 5 = 40.
36. 2 — f'(x) = 3x²-3 = 3(x-1)(x+1) = 0 ב-x=1 ו-x=-1. שתי נקודות קיצון.
37. (-1, 1) ו-(2, 4) — x² = x+2 → x²-x-2 = 0 → (x-2)(x+1)=0 → x=2 או x=-1. הנקודות (2,4), (-1,1).
38. x=6 — העלאה בריבוע: x+3 = (x-3)² = x²-6x+9 → x²-7x+6=0 → (x-1)(x-6)=0. בדיקה: x=1: √4=1-3=-2 שקר. x=6: √9=3=6-3 ✓.
39. 48 קמ"ש — מהירות ממוצעת = מרחק כולל / זמן כולל = 2d / (d/60 + d/40) = 2/(1/60+1/40) = 2/(100/2400) = 48.
40. 1.5 — tan 45° = 1, sin 30° = 0.5. סכום = 1.5.