מבחנים מיוחדים — כיתה י׳ · יסודות בגרות (קשה)

פתרונות

1. x=3, x=1/2 — נשתמש בנוסחת השורשים: x = (7 ± √(49-24))/4 = (7 ± 5)/4. לכן x=3 או x=1/2.
2. 12x³ - 6x² + 5 — נגזרת של xⁿ היא nxⁿ⁻¹. נגזרת קבוע = 0. לכן f'(x) = 12x³ - 6x² + 5.
3. x<2 או x>3 — שורשי המשוואה x²-5x+6=0 הם x=2, x=3. הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן חיובית מחוץ לשורשים.
4. מקסימום ב-x=-1, מינימום ב-x=3 — f'(x) = 3x²-6x-9 = 3(x-3)(x+1). f'=0 ב-x=-1 וב-x=3. f''(x)=6x-6: ב-x=-1 שלילי (מקס), ב-x=3 חיובי (מין).
5. ירידה של 4% — אם המחיר ההתחלתי P, אחרי עלייה: 1.2P. אחרי ירידה: 1.2P × 0.8 = 0.96P. ירידה כוללת של 4%.
6. 11,576 ₪ — ריבית דריבית: A = P(1+r)ⁿ = 10000 × 1.05³ = 10000 × 1.157625 ≈ 11,576 ₪.
7. 20 שנים — נסמן x מספר השנים. 40+x = 2(10+x) → 40+x = 20+2x → x=20.
8. 60 קמ"ש — v המהירות. 240/v - 240/(v+20) = 1. פותרים: 240(v+20)-240v = v(v+20) → 4800 = v²+20v → v²+20v-4800=0 → v=60.
9. 15 שעות — 1/10 + 1/x = 1/6 → 1/x = 1/6 - 1/10 = (5-3)/30 = 2/30 = 1/15. לכן x=15.
10. x ≠ 3 — המכנה לא יכול להיות 0: x-3 ≠ 0, כלומר x ≠ 3. (למרות שאפשר לצמצם, התחום נשאר ללא 3.)