חזרה למבחן — כיתה ט׳ (קל)

פתרונות

1. 16 ש״ח — 7 · 12 = 84 ש״ח. עודף: 100 − 84 = 16 ש״ח.
2. 18 — נסעו: 40% · 30 = 12. לא נסעו: 30 − 12 = 18.
3. 40% — 8/20 = 0.4 = 40%.
4. 16 — איה אכלה 1/3 · 24 = 8. נשאר: 24 − 8 = 16.
5. 15 — 2.5 · 6 = 15 שעות.
6. 13 — סדרת פיבונאצ'י: כל איבר הוא סכום שני קודמיו. 5 + 8 = 13.
7. x = 2 או x = 3 — x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, לכן x = 2 או x = 3.
8. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
9. (2x + 1)(x + 3) — (2x + 1)(x + 3) = 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
10. 0 — Δ = b² − 4ac = 16 − 16 = 0. יש שורש כפול אחד.
11. 7 — לפי וייטה, סכום השורשים = −b/a = 7/1 = 7.
12. 6 — לפי וייטה, מכפלת השורשים = c/a = 6/1 = 6.
13. 1/2 — יש 3 מספרים זוגיים (2, 4, 6) מתוך 6, לכן ההסתברות היא 3/6 = 1/2.
14. 40° — סכום זוויות במשולש הוא 180°. 180° − 60° − 80° = 40°.
15. 1/2 — sin(30°) = 1/2. זהו ערך טריגונומטרי בסיסי.
16. 1/2 — cos(60°) = 1/2. זהו ערך בסיסי שכדאי לזכור.
17. (x − 4)(x + 4) — x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4) — הפרש ריבועים.
18. x = 3, y = 2 — חיבור: 2x = 6, x = 3. מציבים: y = 5 − 3 = 2.
19. x = 2 — נקודת הקיצון בפרבולה y = ax² + bx + c היא x = −b/(2a) = 4/2 = 2.
20. 0.4 — P(Aᶜ) = 1 − P(A) = 1 − 0.6 = 0.4.
21. 1 — tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1.
22. 3(x − 1)(x + 1) — 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
23. קיים תלמיד שלא עבר את הבחינה — שלילת 'לכל x, P(x)' היא 'קיים x כך ש־¬P(x)'. שלילת 'כל התלמידים עברו' היא 'קיים תלמיד שלא עבר'.
24. כל מספר שלם הוא אי-שלילי או אי-זוגי — שלילת '∃x (P(x) ∧ Q(x))' היא '∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))'. שלילת 'קיים שלילי וזוגי' היא 'כל מספר שלם הוא אי-שלילי או אי-זוגי'.
25. אם הכביש לא רטוב, אז גשם לא יורד — ה-contrapositive של 'אם P אז Q' הוא 'אם ¬Q אז ¬P'. כאן: 'אם הכביש לא רטוב, אז גשם לא יורד'.
26. שקר — קונגיונקציה (∧) מחייבת ששני האברים יהיו אמת. מכיוון ש-Q = שקר, התוצאה שקר.
27. שקר — דיסיונקציה (∨) מחזירה שקר רק כאשר שני האברים שקריים.
28. ¬P ∨ ¬Q — חוק דה-מורגן הראשון: ¬(P ∧ Q) = ¬P ∨ ¬Q.
29. ¬P ∧ ¬Q — חוק דה-מורגן השני: ¬(P ∨ Q) = ¬P ∧ ¬Q.
30. שקר — גרירה (→) שקרית רק כאשר P אמת ו-Q שקר. זהו המקרה היחיד שבו P → Q שקר.
31. אמת — גרירה שקרית רק כאשר P אמת ו-Q שקר. כאשר P שקר, הגרירה תמיד אמת (vacuously true).
32. {2, 3} — חיתוך של שתי קבוצות הוא קבוצת האיברים המשותפים. 2 ו-3 מופיעים בשתי הקבוצות.
33. {1, 2, 3, 4} — איחוד של שתי קבוצות הוא קבוצת כל האיברים המופיעים בלפחות אחת מהן. 1, 2, 3 מ-A ו-4 מ-B.
34. 5 — גודל (עוצמה) של קבוצה הוא מספר האיברים בה. ל-A יש 5 איברים: a, b, c, d, e.
35. ¬P ∨ Q — P → Q שקולה ל-¬P ∨ Q. זוהי אחת מהשקילויות הלוגיות הבסיסיות.
36. לא, אינן שקולות — P → Q ו-Q → P אינן שקולות. Q → P נקראת ה'הפוך' (converse) של P → Q. למשל: 'אם גשם, אז כביש רטוב' — ההפוך 'אם כביש רטוב, אז גשם' אינו בהכרח נכון.
37. 70 — כלל הכלה-הדחה: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 50 + 30 − 10 = 70.
38. P ∨ ¬P — P ∨ ¬P תמיד אמת (חוק השוללים האמצעיים). P ∧ ¬P תמיד שקר (סתירה). P → ¬P שקר כאשר P אמת. ¬P ∨ Q לא תמיד אמת.
39. אמת — שקילות (↔) אמת כאשר שני האברים שווים בערך האמת שלהם. P = Q = אמת, לכן אמת.
40. שקר — שקילות (↔) שקרית כאשר ערכי האמת שונים. P = אמת, Q = שקר — הם שונים, ולכן שקר.