⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ט׳ · רמה קשה · 40 שאלות
הסתברות — כיתה ט׳ (קשה)
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 40
- בתיבה כדורים: 4 אדומים ו-6 כחולים. שולפים שני כדורים ברצף ללא החזרה. מה ההסתברות ששניהם אדומים?
- שני כדורים נשלפים ברצף ללא החזרה מ-5 כחולים ו-3 אדומים. מה ההסתברות שהשני כחול בהינתן שהראשון כחול?
- כמה דרכים לבחור ועדה של 3 אנשים מתוך 7?
- 3 בנות ו-3 בנים יושבים בשורה של 6 כיסאות. מה ההסתברות שלא יישבו שני אנשים מאותו מין זה ליד זה?
- ב-10 אנשים, כמה לחיצות יד יהיו אם כולם לוחצים ידיים עם כולם פעם אחת?
- אירועים A ו B בלתי תלויים. P(A) = 0.4, P(B) = 0.5. מה P(A וגם B)?
- פרדוקס מונטי הול: בחרתם דלת 1 מתוך 3. המציג פותח דלת ריקה (דלת 3). האם כדאי להחליף לדלת 2?
- בכמה דרכים ניתן לצבוע 4 פינות ריבוע ב-3 צבעים כך ששתי פינות סמוכות לא יהיו באותו צבע?
- אם נדגמים 5 קלפים מקופסה של 52, מה הסיכוי שכולם מאותו סוג (לב, עלה וכו')?
- אם המקדם הבינומי C(n,2) = 45, מהו n?
- משחק קלפים: שחקן מקבל 5 קלפים מחפיסה של 52. מה ההסתברות לקבל בדיוק 2 אסים?
- משחק אסטרטגיה: מטבע לא הוגן שמסיכוי לעץ 2/3. מה ההסתברות לקבל בדיוק 3 עצים ב-5 הטלות?
- במאגר יש 10 דגים: 4 זהבים ו-6 כסופים. דייג שולה 3 דגים. מה ההסתברות שלפחות 2 זהבים?
- הסתברות שמחשב יקרוס בשנה: 0.05. מה הסתברות שלא יקרוס 3 שנים ברצף?
- בקבוצה 3 בנים ו-2 בנות. בוחרים 2 אנשים. מה ההסתברות ששניהם בנות?
- זורקים קוביה 3 פעמים. מה ההסתברות לקבל 6 לפחות פעם אחת?
- ב-3 הטלות של מטבע, מה ההסתברות לקבל בדיוק 2 עצים?
- מצא את P(A או B) אם P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A וגם B)=0.2.
- אירוע A: מספר עולה 3, P(A) = 4/6. אירוע B: מספר זוגי, P(B) = 3/6. P(A ∩ B) = 1/6 (רק 6). מהי P(A | B)?
- בהסתברות מותנית: P(A|B) = P(A). מה זה אומר על A ו-B?
- ידוע: P(B) = 0.5, P(A|B) = 0.6, P(A|¬B) = 0.2. מהי P(A)?
- חידה קומבינטורית: כמה מספרים 3-ספרתיים (100-999) הם פלינדרום (נקראים אותו דבר משני כיוונים)?
- הסתברות מותנית: מתוך 20 תלמידים, 12 לומדים מתמטיקה, 8 לומדים פיזיקה, 5 לומדים שניהם. מה ההסתברות שתלמיד לומד פיזיקה בהינתן שהוא לומד מתמטיקה?
- מ-5 ספרות שונות (1,2,3,4,5) בוחרים 3 ספרות לסיסמה (ללא חזרה, עם סדר). כמה סיסמאות אפשריות?
- בשק יש 3 כדורים אדומים ו-4 כחולים. נשלפים 2 ללא החזרה. מה ההסתברות שיהיו צבעים שונים?
- כמה דרכים לבחור וועדה של 3 חברים מ-8 מועמדים?
- בשני אירועים בלתי-תלויים A ו-B, P(A) = 0.4 ו-P(B) = 0.5. מהו P(A ∩ B)?
- כמה דרכים לבחור ועדה של 3 מתוך 8 מועמדים (סדר לא חשוב)?
- בשקית 4 כדורים אדומים ו-6 כחולים. שולפים 3 כדורים בלי החזרה. מה ההסתברות לקבל בדיוק 2 אדומים?
- בעיית קומבינטוריקה: כמה מילים שונות (בכל אורך) ניתן ליצור מהאותיות של המילה MATH ללא חזרה?
- ועדת תכנון: 3 מהנדסים ו-2 אדריכלים מ-7 מהנדסים ו-5 אדריכלים. כמה דרכים?
- נוסחת בייס מורכבת: מפעל מייצר 60% מסוג A ו-40% מסוג B. שיעור פגמים A: 2%, B: 5%. מוצר פגום נמצא. מה ההסתברות שהוא מסוג B?
- בתחרות 10 קבוצות, כל קבוצה משחקת מול כל אחרת פעם אחת. כמה משחקים?
- מחלה נדירה בשכיחות 0.1%. בדיקה: רגישות 99%, ספציפיות 99%. מה P(חולה|חיובי)?
- P(A)=0.6, P(B)=0.5, P(A∪B)=0.8. מה P(A|B)?
- במפעל, 2% מהמוצרים פגומים. מבחן בדיקה מזהה נכון פגום ב־95% מהמקרים, ונותן תוצאה חיובית שגויה ב־3% מהתקינים. מה הסתברות שמוצר שנבדק חיובי — אכן פגום?
- בכמה דרכים ניתן לחלק 8 ספרים שונים לשתי קבוצות של 4 ספרים כל אחת (הקבוצות אינן מסומנות)?
- בניסוי בינומי: n=10, p=0.3. מה התוחלת (ערך ממוצע) של X?
- בשלב ראשון שולפים כדור מ־3 אדומים ו־2 כחולים. אם יצא אדום — שולפים שוב מ־2 אדומים ו־3 כחולים; אם יצא כחול — מ־4 אדומים ו־1 כחול. מה ההסתברות שהכדור השני יהיה כחול?
- A ו־B מאורעות תלויים כאשר P(A)=0.4, P(B)=0.5 ו־P(A|B)=0.6. האם A ו־B בלתי תלויים?
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
פתרונות
- 2/15 — P(אדום ואדום) = (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15.
- 4/7 — אחרי שלפנו כחול ראשון: נשארו 7 כדורים, 4 כחולים. P = 4/7.
- 35 — C(7,3) = 7!/(3!·4!) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35.
- 1/10 — סך סידורים: 6!=720. סידורים מתחלפים: 2 × 3! × 3! = 72. הסתברות = 72/720 = 1/10.
- 45 — C(10,2) = 10!/(2!·8!) = (10·9)/2 = 45 לחיצות ידיים.
- 0.2 — P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0.4 · 0.5 = 0.2.
- כן — הסיכוי עולה ל-2/3 — בהתחלה: P(פרס בדלת 1) = 1/3, P(פרס ב-2 או 3) = 2/3. לאחר פתיחת דלת 3, כל ה-2/3 עוברים לדלת 2. החלפה מכפילה את הסיכוי.
- 18 — פינה ראשונה: 3 אפשרויות. שנייה (סמוכה): 2. שלישית (סמוכה לשנייה): 2. רביעית (סמוכה לשלישית ולראשונה): תלוי — סה״כ 18 בחישוב מדויק של הפולינום הכרומטי.
- C(13,5)/C(52,5) — יש 4 סוגים. לכל סוג C(13,5) אפשרויות. סה״כ: 4×C(13,5)/C(52,5). הפשוט ביותר מבין האפשרויות: C(13,5)/C(52,5) מייצג סוג אחד.
- 10 — n(n−1)/2 = 45 → n(n−1) = 90 → n = 10 (10×9=90).
- C(4,2)·C(48,3)/C(52,5) — לבחור 2 אסים מ-4: C(4,2). להשלים 3 קלפים מ-48: C(48,3). מחלקים בכל האפשרויות C(52,5).
- 80/243 — B(5,3) · (2/3)³ · (1/3)² = 10 · 8/27 · 1/9 = 80/243.
- C(4,2)·C(6,1)+C(4,3) כל זה חלקי C(10,3) — P(בדיוק 2 זהב) = C(4,2)·C(6,1)/C(10,3) = 6·6/120 = 36/120. P(3 זהב) = C(4,3)/C(10,3) = 4/120. P(לפחות 2) = 40/120 = 1/3.
- כ-0.857 — 0.95³ = 0.857.
- 1/10 — C(2,2)/C(5,2) = 1/10.
- 91/216 — P(לפחות פעם אחת) = 1 − P(אף פעם) = 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216.
- 3/8 — C(3,2) × (1/2)² × (1/2)¹ = 3 × 1/8 = 3/8.
- 0.7 — P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
- 1/3 — P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (1/6)/(3/6) = 1/3.
- A ו-B עצמאיים — P(A|B) = P(A) אומר שB לא משפיע על הסתברות A — כלומר A ו-B עצמאיים.
- 0.4 — P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|¬B)·P(¬B) = 0.6·0.5 + 0.2·0.5 = 0.3 + 0.1 = 0.4 (משפט ההסתברות הכוללת).
- 90 — פלינדרום 3-ספרתי: ABA. A ∈ {1,...,9} (9 אפשרויות), B ∈ {0,...,9} (10 אפשרויות). סה״כ: 9 · 10 = 90.
- 5/12 — P(פיזיקה | מתמטיקה) = P(שניהם) / P(מתמטיקה) = (5/20) / (12/20) = 5/12.
- 60 — תמורה: P(5,3) = 5!/(5−3)! = 5 · 4 · 3 = 60.
- 4/7 — C(7,2) = 21. אדום+כחול: 3×4 = 12. P = 12/21 = 4/7.
- 56 — C(8,3) = 8!/(3!·5!) = (8×7×6)/(3×2×1) = 336/6 = 56.
- 0.2 — אירועים בלתי-תלויים: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2.
- 56 — C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 56.
- 3/10 — C(4,2)·C(6,1)/C(10,3) = 6·6/120 = 36/120 = 3/10.
- 64 — מילות אורך 1: P(4,1)=4. אורך 2: P(4,2)=12. אורך 3: P(4,3)=24. אורך 4: 4!=24. סה״כ: 4+12+24+24=64.
- 350 — C(7,3) · C(5,2) = 35 · 10 = 350.
- ≈ 62.5% — P(פגום) = 0.02·0.6 + 0.05·0.4 = 0.012 + 0.02 = 0.032. P(B|פגום) = 0.02/0.032 = 62.5%.
- 45 — C(10,2) = 10·9/2 = 45 משחקים.
- ≈ 9% — P(+) = 0.99·0.001 + 0.01·0.999 = 0.000999 + 0.00999 = 0.010989. P = 0.000999/0.010989 ≈ 9.1%.
- 0.6 — P(A∩B) = P(A)+P(B)−P(A∪B) = 0.6+0.5−0.8 = 0.3. P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.3/0.5 = 0.6.
- 39.2% — P(פגום|חיובי) = P(חיובי|פגום)·P(פגום) / [P(חיובי|פגום)·P(פגום) + P(חיובי|תקין)·P(תקין)] = 0.95·0.02/(0.95·0.02+0.03·0.98) = 0.019/(0.019+0.0294) ≈ 0.019/0.0484 ≈ 39.2%.
- 35 — C(8,4)/2! = 70/2 = 35. מחלקים ב־2 כי הקבוצות אינן מסומנות.
- 3 — בהתפלגות בינומית: E(X) = n·p = 10·0.3 = 3.
- 9/25 — P(כחול₂) = P(אדום₁)·P(כחול₂|אדום₁) + P(כחול₁)·P(כחול₂|כחול₁) = (3/5)·(3/5) + (2/5)·(1/5) = 9/25 + 2/25 = 11/25.
- לא — כי P(A|B) ≠ P(A) — אם A ו־B בלתי תלויים, P(A|B) = P(A). כאן P(A|B)=0.6 ≠ P(A)=0.4, לכן הם תלויים.