הסתברות — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 2/15 — P(אדום ואדום) = (4/10)·(3/9) = 12/90 = 2/15.
2. 4/7 — אחרי שלפנו כחול ראשון: נשארו 7 כדורים, 4 כחולים. P = 4/7.
3. 35 — C(7,3) = 7!/(3!·4!) = (7·6·5)/(3·2·1) = 35.
4. 1/10 — סך סידורים: 6!=720. סידורים מתחלפים: 2 × 3! × 3! = 72. הסתברות = 72/720 = 1/10.
5. 45 — C(10,2) = 10!/(2!·8!) = (10·9)/2 = 45 לחיצות ידיים.
6. 0.2 — P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0.4 · 0.5 = 0.2.
7. כן — הסיכוי עולה ל-2/3 — בהתחלה: P(פרס בדלת 1) = 1/3, P(פרס ב-2 או 3) = 2/3. לאחר פתיחת דלת 3, כל ה-2/3 עוברים לדלת 2. החלפה מכפילה את הסיכוי.
8. 18 — פינה ראשונה: 3 אפשרויות. שנייה (סמוכה): 2. שלישית (סמוכה לשנייה): 2. רביעית (סמוכה לשלישית ולראשונה): תלוי — סה״כ 18 בחישוב מדויק של הפולינום הכרומטי.
9. C(13,5)/C(52,5) — יש 4 סוגים. לכל סוג C(13,5) אפשרויות. סה״כ: 4×C(13,5)/C(52,5). הפשוט ביותר מבין האפשרויות: C(13,5)/C(52,5) מייצג סוג אחד.
10. 10 — n(n−1)/2 = 45 → n(n−1) = 90 → n = 10 (10×9=90).
11. C(4,2)·C(48,3)/C(52,5) — לבחור 2 אסים מ-4: C(4,2). להשלים 3 קלפים מ-48: C(48,3). מחלקים בכל האפשרויות C(52,5).
12. 80/243 — B(5,3) · (2/3)³ · (1/3)² = 10 · 8/27 · 1/9 = 80/243.
13. C(4,2)·C(6,1)+C(4,3) כל זה חלקי C(10,3) — P(בדיוק 2 זהב) = C(4,2)·C(6,1)/C(10,3) = 6·6/120 = 36/120. P(3 זהב) = C(4,3)/C(10,3) = 4/120. P(לפחות 2) = 40/120 = 1/3.
14. כ-0.857 — 0.95³ = 0.857.
15. 1/10 — C(2,2)/C(5,2) = 1/10.
16. 91/216 — P(לפחות פעם אחת) = 1 − P(אף פעם) = 1 − (5/6)³ = 1 − 125/216 = 91/216.
17. 3/8 — C(3,2) × (1/2)² × (1/2)¹ = 3 × 1/8 = 3/8.
18. 0.7 — P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
19. 1/3 — P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = (1/6)/(3/6) = 1/3.
20. A ו-B עצמאיים — P(A|B) = P(A) אומר שB לא משפיע על הסתברות A — כלומר A ו-B עצמאיים.