מספרים שלמים — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 47 — מתחלקים ב-3: 33 מספרים. ב-5: 20. ב-15: 6. לפי כלל ההכללה-הדחה: 33 + 20 − 6 = 47.
2. 13 ו-14 — n(n+1) = 182. √182 ≈ 13.5. נסה n=13: 13×14=182. ✓
3. 1 — 7 ≡ 3 (mod 4). 7² ≡ 9 ≡ 1 (mod 4). 7^100 = (7²)^50 ≡ 1^50 = 1 (mod 4).
4. 28 — 56 = 2³ · 7, 84 = 2² · 3 · 7. GCD = 2² · 7 = 28.
5. 1 — 17 ≡ 1 (mod 4), לכן 17² ≡ 1² = 1 (mod 4).
6. 4 — 2, 3, 5, 7 — ארבעה מספרים ראשוניים.
7. לא, אינו קיים — 0² ≡ 0, 1² ≡ 1, 2² ≡ 1 (mod 3). שום ריבוע אינו ≡ 2 (mod 3).
8. 36 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². LCM = 2² · 3² = 36.
9. 13 — מ-14 עד 98: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 — 13 מספרים.
10. 4 — מספרים: −3, 0, 3, 6. ארבעה מספרים.
11. 17 — x ≡ 3 (mod 7): x = 7k+3. נציב ב־x ≡ 1 (mod 4): 7k+3 ≡ 1 → 7k ≡ −2 ≡ 2 (mod 4) → 3k ≡ 2 (mod 4) → k ≡ 2 (mod 4). k = 2: x = 14+3 = 17.
12. לא, כי מ.מ.ג(3,6) לא מחלק 7 — מ.מ.ג(3, 6) = 3. מאחר ש־3 לא מחלק את 7, אין פתרון שלם.
13. x = 2, y = −1 — 2·2 + 3·(−1) = 4 − 3 = 1. זהו פתרון שלם.
14. כן תמיד — p אי-זוגי, לכן p = 2k+1. p² − 1 = (p−1)(p+1) = 2k(2k+2) = 4k(k+1). מאחר ש־k(k+1) זוגי תמיד (מכפלת עוקבים), p² − 1 מתחלק ב־8.
15. 1 — לפי משפט פרמה הקטן: 5⁶ ≡ 1 (mod 7). 5⁸ = 5⁶ · 5² ≡ 1 · 25 ≡ 25 mod 7 = 4. רגע: 25 = 7·3+4. הפתרון הנכון: 4.
16. 4 — 5⁶ ≡ 1 (mod 7) לפי משפט פרמה הקטן. 5⁸ = 5⁶ · 5² ≡ 25 ≡ 4 (mod 7).
17. 5 — 3 · 5 = 15 = 7 · 2 + 1. לכן 3 · 5 ≡ 1 (mod 7).
18. אינסוף — מ.מ.ג(4, 6) = 2 ו־2 | 2, לכן יש פתרון. פתרון פרטי: x=2, y=−1. הפתרון הכללי: x = 2+3t, y = −1−2t לכל שלם t.
19. לא, מ.מ.ג(5, 10) = 5 לא מחלק 3 — מ.מ.ג(5, 10) = 5. מכיוון ש־5 לא מחלק 3, אין פתרון שלם.
20. כן תמיד — אם a = 3k ו־b = 3m, אז a + b = 3(k + m). לכן 3 | (a + b).
21. x ≡ 2 (mod 7) — ההופכי של 5 מודולו 7 הוא 3 (כי 5·3=15≡1). x ≡ 3·3 = 9 ≡ 2 (mod 7).
22. x = 5, y = 0 — הציבו y = 0: x = 5. פתרון פרטי: (5, 0).
23. 2√2 — √2 + √2 = 2√2 (כמו x + x = 2x).
24. x = 4 או x = −3 — מקרה 1: 2x − 1 = 7 → x = 4. מקרה 2: 2x − 1 = −7 → 2x = −6 → x = −3.
25. 5√2 — √8 = 2√2. אז 3√2 + 2√2 = 5√2.
26. −3 < x < 3 — |x| < 3 פירושו שהמרחק מ-0 קטן מ-3, כלומר −3 < x < 3.
27. 8 — (√3)² = 3 ו-(√5)² = 5. הסכום: 3 + 5 = 8.
28. x ≥ 3 או x ≤ −7 — |x + 2| ≥ 5 פירושו x + 2 ≥ 5 (x ≥ 3) או x + 2 ≤ −5 (x ≤ −7).
29. 2√2 — √50 = 5√2, √18 = 3√2. הפרש: 5√2 − 3√2 = 2√2.
30. 12 — הגבוהה ביותר: 7. הנמוכה ביותר: −5. הפרש: 7 − (−5) = 12.
31. 6 — √3 · √12 = √(3 · 12) = √36 = 6.
32. x = 6 או x = −2 — מקרה 1: 3x − 6 = 12 → 3x = 18 → x = 6. מקרה 2: 3x − 6 = −12 → 3x = −6 → x = −2.
33. 135 ש״ח — 30 × 4.5 = 135 ש״ח.
34. ab√(ab) — √(a²b) · √(ab²) = √(a²b · ab²) = √(a³b³) = ab√(ab).
35. −5 < x < 2 — |2x + 3| < 7: −7 < 2x + 3 < 7. מחסרים 3: −10 < 2x < 4. מחלקים ב-2: −5 < x < 2.
36. 6√3 — 108 = 36 · 3. √108 = √36 · √3 = 6√3.
37. מניחים ש-√2 = p/q כאשר p, q שלמים ו-gcd(p,q) = 1 — הוכחה בסתירה: מניחים ש-√2 רציונלי, כלומר שניתן לכתוב √2 = p/q בצורה מצומצמת.
38. 2°C — −4 + 9 − 3 = 5 − 3 = 2°C.
39. 2 — (√5 + √3)(√5 − √3) = (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2.
40. 6√3 — 2√3 + 5√3 − √3 = (2 + 5 − 1)√3 = 6√3.