מספרים שלמים — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 47 — מתחלקים ב-3: 33 מספרים. ב-5: 20. ב-15: 6. לפי כלל ההכללה-הדחה: 33 + 20 − 6 = 47.
2. 13 ו-14 — n(n+1) = 182. √182 ≈ 13.5. נסה n=13: 13×14=182. ✓
3. 1 — 7 ≡ 3 (mod 4). 7² ≡ 9 ≡ 1 (mod 4). 7^100 = (7²)^50 ≡ 1^50 = 1 (mod 4).
4. 28 — 56 = 2³ · 7, 84 = 2² · 3 · 7. GCD = 2² · 7 = 28.
5. 1 — 17 ≡ 1 (mod 4), לכן 17² ≡ 1² = 1 (mod 4).
6. 4 — 2, 3, 5, 7 — ארבעה מספרים ראשוניים.
7. לא, אינו קיים — 0² ≡ 0, 1² ≡ 1, 2² ≡ 1 (mod 3). שום ריבוע אינו ≡ 2 (mod 3).
8. 36 — 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². LCM = 2² · 3² = 36.
9. 13 — מ-14 עד 98: 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98 — 13 מספרים.
10. 4 — מספרים: −3, 0, 3, 6. ארבעה מספרים.
11. 17 — x ≡ 3 (mod 7): x = 7k+3. נציב ב־x ≡ 1 (mod 4): 7k+3 ≡ 1 → 7k ≡ −2 ≡ 2 (mod 4) → 3k ≡ 2 (mod 4) → k ≡ 2 (mod 4). k = 2: x = 14+3 = 17.
12. לא, כי מ.מ.ג(3,6) לא מחלק 7 — מ.מ.ג(3, 6) = 3. מאחר ש־3 לא מחלק את 7, אין פתרון שלם.
13. x = 2, y = −1 — 2·2 + 3·(−1) = 4 − 3 = 1. זהו פתרון שלם.
14. כן תמיד — p אי-זוגי, לכן p = 2k+1. p² − 1 = (p−1)(p+1) = 2k(2k+2) = 4k(k+1). מאחר ש־k(k+1) זוגי תמיד (מכפלת עוקבים), p² − 1 מתחלק ב־8.
15. 1 — לפי משפט פרמה הקטן: 5⁶ ≡ 1 (mod 7). 5⁸ = 5⁶ · 5² ≡ 1 · 25 ≡ 25 mod 7 = 4. רגע: 25 = 7·3+4. הפתרון הנכון: 4.
16. 4 — 5⁶ ≡ 1 (mod 7) לפי משפט פרמה הקטן. 5⁸ = 5⁶ · 5² ≡ 25 ≡ 4 (mod 7).
17. 5 — 3 · 5 = 15 = 7 · 2 + 1. לכן 3 · 5 ≡ 1 (mod 7).
18. אינסוף — מ.מ.ג(4, 6) = 2 ו־2 | 2, לכן יש פתרון. פתרון פרטי: x=2, y=−1. הפתרון הכללי: x = 2+3t, y = −1−2t לכל שלם t.
19. לא, מ.מ.ג(5, 10) = 5 לא מחלק 3 — מ.מ.ג(5, 10) = 5. מכיוון ש־5 לא מחלק 3, אין פתרון שלם.
20. כן תמיד — אם a = 3k ו־b = 3m, אז a + b = 3(k + m). לכן 3 | (a + b).