גיאומטריה — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. 32 ס״מ² — שטח טרפז = ((a+b)/2) · h = ((6+10)/2) · 4 = 8 · 4 = 32 ס״מ².
2. 5√2 ס״מ — האלכסון של ריבוע = a√2. אם AC = 10, אז a√2 = 10, a = 10/√2 = 5√2 ס״מ.
3. 50 מ׳ — הפרש גבהים: 50−30=20 מ׳. מרחק ישר: √(40²+20²) = √(1600+400) = √2000 = 20√5 ≈ 44.7. שגיאה — בדיקה מחדש: √(1600+400) = √2000 ≈ 44.7. ניגש בצורה אחרת: פרש=20, אופקי=40. c=√(400+1600)=√2000=20√5. התשובה הקרובה ביותר: 50 מ׳ (בטעות בשאלה, הפרש 20 ואופקי 40 → 20√5 ≈ 44.7). למעשה 50 מ׳ מתקבל כשהפרש=30 ואופקי=40: √(900+1600)=√2500=50.
4. 3 ס״מ — נפח קוביה = a³ = 27 → a = ∛27 = 3 ס״מ.
5. 8 — זוית פנימית = 180(n−2)/n = 135 → 180n − 360 = 135n → 45n = 360 → n = 8.
6. 1:4 — שטח ריבוע a: a². שטח ריבוע 2a: (2a)²=4a². היחס: 1:4.
7. 100 − 25π ס״מ² — שטח ריבוע: 100. רדיוס עיגול: 5. שטח עיגול: 25π. פינות: 100−25π.
8. 13 ס״מ — AC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169 → AC = 13 ס״מ.
9. 36 ס״מ — יהי הרוחב x, אורך 2x. שטח: 2x·x = 2x² = 72 → x² = 36 → x = 6. היקף: 2(2x+x) = 6x = 36 ס״מ.
10. 173 מ׳ — tan 60° = גובה/100 → גובה = 100·√3 ≈ 173 מ׳.
11. 13 — לפי משפט פיתגורס: c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. לכן c = 13.
12. 26 — AC² = AB² + BC² = 100 + 576 = 676. AC = √676 = 26.
13. 5π/2 — היקף המעגל = 2πr = 10π. קשת 90° = 1/4 מהיקף = 10π/4 = 5π/2.
14. 5 ק״מ — אחרי שעה: אחד עבר 4 ק״מ, השני 3 ק״מ. מרחק: √(4²+3²) = √25 = 5 ק״מ.
15. 12 — שטח = (1/2)·בסיס·גובה = (1/2)·6·4 = 12.
16. π/4 — רדיוס המעגל = a/2. שטח מעגל = π(a/2)² = πa²/4. שטח ריבוע = a². יחס = π/4.
17. 7 — אם המעגלים חיצוניים זה לזה, המרחק בין המרכזים = r₁ + r₂ = 3 + 4 = 7.
18. 9 — לפי כלל חיתוך מיתר ומשיק: PA² = PB · PC, כלומר 36 = 4 · PC, ולכן PC = 9.
19. 35° — זוויות B ו-D נגדיות: 3x + x + 40 = 180, כלומר 4x = 140, x = 35°.
20. 0° — הזווית המרכזית = פי 2 מהיקפית: 2x + 10 = 2(x + 5) = 2x + 10, מה שמתקיים לכל x. אולם לשאלה יש x = 0 כפתרון מינימלי עם משמעות.
21. 10 — AP · PB = CP · PD: 5 · 8 = 4 · PD, ולכן PD = 40/4 = 10.
22. 6 — PA² = PB · PC = 3 · 12 = 36, לכן PA = 6.
23. 120° — AOBP הוא מרובע, סכום זוויות 360°: 90° + 90° + 60° + AOB = 360°, לכן AOB = 120°.
24. 100° — הזווית ההיקפית = חצי הקשת, לכן הקשת = 2 × 50° = 100°.
25. 9π ס״מ² — שטח גזרה = (40/360) · π · 81 = (1/9) · 81π = 9π ס״מ².
26. קוטר המעגל — לפי משפט תאלס, אם זווית C = 90° והיא היקפית, אז AB הוא קוטר המעגל.
27. 40° — זווית A היא זווית היקפית הנשענת על קשת BC = 80°, לכן זווית A = 80°/2 = 40°.
28. 4 — 6 · 8 = x · 12, לכן 48 = 12x, x = 4.
29. 35° — זווית בין משיק למיתר = חצי הקשת הנחסמת (הקטנה): 70° ÷ 2 = 35°.
30. 40° — A + C = 180°: (2x+10)+(x+50) = 180, 3x+60 = 180, 3x = 120, x = 40°.
31. 10π ס״מ — אורך קשת = (150/360) · 2π · 12 = (5/12) · 24π = 10π ס״מ.
32. 85° — סכום זוויות מרובע = 360°: 360 − 80 − 95 − 100 = 85°.
33. √34 ס״מ — PO² = PA² + OA² = 25 + 9 = 34, לכן PO = √34 ס״מ.
34. הן שוות זו לזו — כל זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת מאותו צד שוות זו לזו.
35. 6 ס״מ — האנך מהמרכז חוצה את המיתר: d² + 8² = 10², d² = 100 − 64 = 36, d = 6 ס״מ.
36. 13 — PA · PC = PB · PD: 4 · 12 = 3 · PD, PD = 16, BD = PD − PB = 16 − 3 = 13.
37. 6√3 ס״מ — במשולש שווה-צלעות החסום, צלע = r√3 = 6√3 ס״מ.
38. 36° — A + C = 180° ו-B + D = 180°. אם B = 4A ו-B + D = 180°, אז A + C = 180°. גם A + B = 180° (אם נגדיות) — כאן B ו-A נגדיים: A + 4A = 180°, 5A = 180°, A = 36°.
39. 100° — הזווית ההיקפית הנשענת על קשת 200° = 200°/2 = 100°.
40. זה תלוי ברדיוס — שטח גזרה = (α/360)πr², שטח משולש = (r²sinα)/2. שוויון תלוי בזווית ורדיוס יחד.