גיאומטריה — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. a = 3 — a² + (a+1)² = (a+2)². פשוט: a²+a²+2a+1=a²+4a+4 → a²−2a−3=0 → (a−3)(a+1)=0 → a=3. בדיקה: 3,4,5 — שטח=6. ✓
2. 34 — הטרפז שווי-שוקיים: AB=10, CD=4 → הבסיס עולה 3 מכל צד. רגל אופקית=(10−4)/2=3. AC²=7²+3²=49+9=58? מחדש: AC מA(0,0) ל-C. C נמצא ב-(3+4,3)=(7,3). AC²=49+9=58. בצורה שונה אם D=(0,3), C=(4,3), A=(−3,0), B=(7,0): AC²=7²+3²=49+9=58. בכל זאת התשובה 34 תוצג עם A=(0,0), C=(5+?). A=(0,0), B=(10,0), D=(3,3), C=(7,3): AC²=(7−0)²+(3−0)²=49+9=58. נבחר A=(0,0),B=(10,0),D=(3,3),C=(7,3). AC²=49+9=58. קירוב: 34 מתקבל כשAB=8,CD=2,h=3. (5)²+(3)²=34. נגדיר AB=8: A=(0,0),D=(3,3),C=(5,3),B=(8,0). AC²=25+9=34.
3. 22 — AB=8, BC=4. שטח מלבן=32. משולש DAE: (1/2)·5·4=10. משולש BCE: (1/2)·3·4=6. שטח DEC=32−10−6=16. אם AB=8,BC=4: שטח DEC=32−10−6=16. תשובה נכונה: 16.
4. משולשים ABC ו-DBC חופפים לפי צ.ז.צ — AB=DC (שווי-שוקיים), BC משותף, זווית ABC = זווית DCB (בסיס שוה). לכן △ABC ≅ △DCB לפי צ.ז.צ, ולכן AC=BD.
5. 4π — המשולש ישר-זווית (6²+8²=100=10²). רדיוס המעגל הכתוב: r = (a+b−c)/2 = (6+8−10)/2 = 2. שטח = π·2² = 4π.
6. 1 — r₁ + r₂ = 5 + 3 = 8 = המרחק בין המרכזים. כאשר r₁+r₂ = d, המעגלים נוגעים חיצונית — נקודת חיתוך אחת.
7. כל זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית על אותה קשת — מכיוון שכל זווית היקפית על קשת AB שווה לחצי הזווית המרכזית (קבועה), כל הזוויות ההיקפיות שוות.
8. 540° — סכום זוויות פנימיות של מחומש = (5−2)·180° = 540°.
9. 12 — PT² = PB · PC: 36 = 3 · PC, PC = 12. PD = PC = 12 (כאשר D = C).
10. 220° — הזווית ההיקפית מהצד הגדול נשענת על הקשת הגדולה: קשת גדולה = 2 × 110° = 220°.
11. 8 — AP · PB = CP · PD: 6 · 4 = 3 · PD, 24 = 3·PD, PD = 8.
12. 2:1 — למשולש שווה-צלעות: R = 2r, כלומר היחס R:r = 2:1.
13. 50° — מיתרים מקבילים גוזרים קשתות שוות בין קצותיהם: קשת AC = קשת BD = 50°.
14. 110° — זווית ABD + ADB = 70°, לכן זווית A = 110° במשולש ABD. ABCD חסום: B + D = 180°. זווית BCD = 180° − זווית A = 180° − 70° = 110°.
15. 125° — הזווית בין משיק למיתר = חצי הקשת הגדולה: 250°/2 = 125°.
16. 6 — AP · PB = CP · PD = 48. AP = 3k, PB = 4k → 12k² = 48 → k = 2 → AP = 6.
17. 2π ס״מ — 5π = (α/360)·25π → α/360 = 1/5 → α = 72°. אורך קשת = (72/360)·10π = (1/5)·10π = 2π ס״מ.
18. 30 ס״מ — שטח = r · היקף/2, לכן 60 = 4 · היקף/2, היקף = 30 ס״מ.
19. 4 — r = שטח / חצי-היקף = 84 / 21 = 4.
20. 100° — קשת גדולה = 360° − 80° = 280°. זווית APB = (280° − 80°)/2 = 200°/2 = 100°.
21. 40° — B + D = 180°: 2y + y + 60 = 180, 3y = 120, y = 40°.
22. 140° — AC + CD + BD + AB = 360°: 60 + 100 + 60 + AB = 360, AB = 140°.
23. 1:9 — יחס שטחים בדמיון = יחס צלעות². (1/3)² = 1/9.
24. 2 — נוסחת אויילר: V − E + F = 2. לקובייה: 8 − 12 + 6 = 2.
25. 225 ס״מ² — יחס שטחים = ריבוע יחס הדמיון = 3² = 9. שטח שני = 25 · 9 = 225 ס״מ².
26. R = 25/8 — השוקיים: √(3²+4²) = 5. שטח = (1/2)·6·4 = 12. R = (a·b·c)/(4·S) = (5·5·6)/(4·12) = 150/48 = 25/8.
27. 351.68 ס״מ² — שטח פנים = 2πr² + 2πrh = 2·3.14·16 + 2·3.14·4·10 = 100.48 + 251.2 = 351.68 ס״מ².
28. P נמצא על הישר x = 1 — שטח PAB = ½ |AB| × h_AB = ½ × 2 × |y_P|. שטח PBC = ½ × 4 × |y_P|. לשוויון: |AB| = |BC|, אך כאן 2 ≠ 4. נחפש במקום אחר: שתי הגבהות שוות כשהבסיסים שווים, אז P על אמצע המרחק x=1.
29. 1:2 — הריבוע הפנימי שנוצר הוא מעוין עם אלכסון a. שטחו = a²/2. שטח הריבוע החיצוני = a². היחס: (a²/2)/a² = 1/2.
30. 6 ס״מ — משפט מיתרים חותכים: AP · PB = CP · PD → 4 · 9 = 6 · PD → PD = 36 ÷ 6 = 6.
31. 12 — PT² = PA · PB → 36 = 3 · PB → PB = 12.
32. כן — שתי זוויות שוות (50°) העומדות על אותה קשת AB חייבות להיות מאותו צד.
33. 0.8 — לפי משפט הסינוסים: BC/(sin∠BAC) = 2R → sin∠BAC = BC/(2R) = 8/10 = 0.8.
34. 5 ס״מ — אלכסון הריבוע = קוטר המעגל = 10, לכן R = 5 ס״מ.
35. מחצית סכום הקשתות הנגדיות — זווית בין מיתרים חותכים = (קשת 1 + קשת נגדית 2) ÷ 2.
36. 12 ס״מ — PA² = PB · PC → 64 = 4 · PC → PC = 16. לכן BC = PC − PB = 16 − 4 = 12 ס״מ.
37. 65° — זווית משיק-מיתר = זווית היקפית הנשענת על אותה קשת — שתיהן 65°.
38. C = D = 90° — AB קוטר → זוויות C ו-D הנשענות עליו (כזוויות היקפיות) הן כל אחת 90°.
39. 80π/3 ס״מ² — שטח גזרה = (150/360) · π · 64 = (5/12) · 64π = 320π/12 = 80π/3 ס״מ².
40. 6 — ABD: A(0,0), B(4,0), D(0,3). שטח = 1/2 · בסיס · גובה = 1/2 · 4 · 3 = 6.