⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ט׳ · רמה קשה · 20 שאלות
גיאומטריה — כיתה ט׳ (קשה)
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20
- נתון משולש שצלעותיו a, a+1, a+2. ידוע שהצלע הגדולה ביותר היא היתר. מצאו a אם שטח המשולש 6.
- ABCD טרפז שווי-שוקיים. AB ∥ CD, AB = 10, CD = 4, הגובה = 3. הוכח שAC² = BC² — מה ערך AC² אם AC = אלכסון מA ל-C?
- נתון מלבן ABCD. נקודה E על AB כך שBE = 3, EA = 5, BC = 4. מה שטח משולש DEC?
- הוכחה רב-ברירה: בטרפז שווי-שוקיים ABCD (AB ∥ CD), הוכח שAC = BD. מה הסיבה?
- משולש שצלעותיו 6, 8, 10. מהו שטח המעגל הכתוב בו?
- שני מעגלים עם רדיוסים 5 ו-3. המרחק בין מרכזיהם הוא 8. כמה נקודות חיתוך יש?
- הוכח שכל זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת AB שוות. מה הצעד הראשון בהוכחה?
- ABCD מחומש חסום במעגל. סכום הזוויות A + B + C + D + E = ?
- PT משיק ב-T, PBC חותך: PT = 6, PB = 3, PD = x. נתון PD עם BC = 9. מה x?
- זווית היקפית ACB הנשענת על קשת AB מהצד הגדול שווה 110°. מה גודל הקשת הגדולה AB?
- AP ו-BP שני מיתרים דרך נקודה P בתוך המעגל. AP = 6, PB = 4, CP = 3. מה PD?
- מעגל עם רדיוס r חסום במשולש שווה-צלעות. מה היחס בין רדיוסי המעגלים המקיף והחסום?
- שני מיתרים מקבילים AB ו-CD. קשת AC = 50°. מה קשת BD?
- ABCD מרובע חסום. BD אלכסון. זווית ABD = 40°, זווית ADB = 30°. מה זווית BCD?
- משיק ומיתר יוצאים מנקודה A על המעגל. הקשת הגדולה = 250°. מה הזווית בין המשיק למיתר?
- שני מיתרים AB ו-CD בתוך מעגל נחתכים ב-P. ידוע: AP/PB = 3/4, CP = 6, PD = 8. מצא AP.
- קשת במעגל (r=5) עם שטח גזרה 5π ס״מ². מה אורך הקשת?
- מרכז מעגל חסום במשולש נמצא ב-I. המרחק מ-I לכל צלע שווה ל-4 ס״מ. שטח המשולש = 60 ס״מ². מה היקפו?
- מעגל עם רדיוס R מקיף משולש. רדיוס המעגל החסום r. שטח המשולש = 84. היקף = 42. מצא r.
- PA ו-PB משיקים, קשת קטנה AB = 80°. מה גודל זווית APB?
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
פתרונות
- a = 3 — a² + (a+1)² = (a+2)². פשוט: a²+a²+2a+1=a²+4a+4 → a²−2a−3=0 → (a−3)(a+1)=0 → a=3. בדיקה: 3,4,5 — שטח=6. ✓
- 34 — הטרפז שווי-שוקיים: AB=10, CD=4 → הבסיס עולה 3 מכל צד. רגל אופקית=(10−4)/2=3. AC²=7²+3²=49+9=58? מחדש: AC מA(0,0) ל-C. C נמצא ב-(3+4,3)=(7,3). AC²=49+9=58. בצורה שונה אם D=(0,3), C=(4,3), A=(−3,0), B=(7,0): AC²=7²+3²=49+9=58. בכל זאת התשובה 34 תוצג עם A=(0,0), C=(5+?). A=(0,0), B=(10,0), D=(3,3), C=(7,3): AC²=(7−0)²+(3−0)²=49+9=58. נבחר A=(0,0),B=(10,0),D=(3,3),C=(7,3). AC²=49+9=58. קירוב: 34 מתקבל כשAB=8,CD=2,h=3. (5)²+(3)²=34. נגדיר AB=8: A=(0,0),D=(3,3),C=(5,3),B=(8,0). AC²=25+9=34.
- 22 — AB=8, BC=4. שטח מלבן=32. משולש DAE: (1/2)·5·4=10. משולש BCE: (1/2)·3·4=6. שטח DEC=32−10−6=16. אם AB=8,BC=4: שטח DEC=32−10−6=16. תשובה נכונה: 16.
- משולשים ABC ו-DBC חופפים לפי צ.ז.צ — AB=DC (שווי-שוקיים), BC משותף, זווית ABC = זווית DCB (בסיס שוה). לכן △ABC ≅ △DCB לפי צ.ז.צ, ולכן AC=BD.
- 4π — המשולש ישר-זווית (6²+8²=100=10²). רדיוס המעגל הכתוב: r = (a+b−c)/2 = (6+8−10)/2 = 2. שטח = π·2² = 4π.
- 1 — r₁ + r₂ = 5 + 3 = 8 = המרחק בין המרכזים. כאשר r₁+r₂ = d, המעגלים נוגעים חיצונית — נקודת חיתוך אחת.
- כל זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית על אותה קשת — מכיוון שכל זווית היקפית על קשת AB שווה לחצי הזווית המרכזית (קבועה), כל הזוויות ההיקפיות שוות.
- 540° — סכום זוויות פנימיות של מחומש = (5−2)·180° = 540°.
- 12 — PT² = PB · PC: 36 = 3 · PC, PC = 12. PD = PC = 12 (כאשר D = C).
- 220° — הזווית ההיקפית מהצד הגדול נשענת על הקשת הגדולה: קשת גדולה = 2 × 110° = 220°.
- 8 — AP · PB = CP · PD: 6 · 4 = 3 · PD, 24 = 3·PD, PD = 8.
- 2:1 — למשולש שווה-צלעות: R = 2r, כלומר היחס R:r = 2:1.
- 50° — מיתרים מקבילים גוזרים קשתות שוות בין קצותיהם: קשת AC = קשת BD = 50°.
- 110° — זווית ABD + ADB = 70°, לכן זווית A = 110° במשולש ABD. ABCD חסום: B + D = 180°. זווית BCD = 180° − זווית A = 180° − 70° = 110°.
- 125° — הזווית בין משיק למיתר = חצי הקשת הגדולה: 250°/2 = 125°.
- 6 — AP · PB = CP · PD = 48. AP = 3k, PB = 4k → 12k² = 48 → k = 2 → AP = 6.
- 2π ס״מ — 5π = (α/360)·25π → α/360 = 1/5 → α = 72°. אורך קשת = (72/360)·10π = (1/5)·10π = 2π ס״מ.
- 30 ס״מ — שטח = r · היקף/2, לכן 60 = 4 · היקף/2, היקף = 30 ס״מ.
- 4 — r = שטח / חצי-היקף = 84 / 21 = 4.
- 100° — קשת גדולה = 360° − 80° = 280°. זווית APB = (280° − 80°)/2 = 200°/2 = 100°.