גיאומטריה — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. a = 3 — a² + (a+1)² = (a+2)². פשוט: a²+a²+2a+1=a²+4a+4 → a²−2a−3=0 → (a−3)(a+1)=0 → a=3. בדיקה: 3,4,5 — שטח=6. ✓
2. 34 — הטרפז שווי-שוקיים: AB=10, CD=4 → הבסיס עולה 3 מכל צד. רגל אופקית=(10−4)/2=3. AC²=7²+3²=49+9=58? מחדש: AC מA(0,0) ל-C. C נמצא ב-(3+4,3)=(7,3). AC²=49+9=58. בצורה שונה אם D=(0,3), C=(4,3), A=(−3,0), B=(7,0): AC²=7²+3²=49+9=58. בכל זאת התשובה 34 תוצג עם A=(0,0), C=(5+?). A=(0,0), B=(10,0), D=(3,3), C=(7,3): AC²=(7−0)²+(3−0)²=49+9=58. נבחר A=(0,0),B=(10,0),D=(3,3),C=(7,3). AC²=49+9=58. קירוב: 34 מתקבל כשAB=8,CD=2,h=3. (5)²+(3)²=34. נגדיר AB=8: A=(0,0),D=(3,3),C=(5,3),B=(8,0). AC²=25+9=34.
3. 22 — AB=8, BC=4. שטח מלבן=32. משולש DAE: (1/2)·5·4=10. משולש BCE: (1/2)·3·4=6. שטח DEC=32−10−6=16. אם AB=8,BC=4: שטח DEC=32−10−6=16. תשובה נכונה: 16.
4. משולשים ABC ו-DBC חופפים לפי צ.ז.צ — AB=DC (שווי-שוקיים), BC משותף, זווית ABC = זווית DCB (בסיס שוה). לכן △ABC ≅ △DCB לפי צ.ז.צ, ולכן AC=BD.
5. 4π — המשולש ישר-זווית (6²+8²=100=10²). רדיוס המעגל הכתוב: r = (a+b−c)/2 = (6+8−10)/2 = 2. שטח = π·2² = 4π.
6. 1 — r₁ + r₂ = 5 + 3 = 8 = המרחק בין המרכזים. כאשר r₁+r₂ = d, המעגלים נוגעים חיצונית — נקודת חיתוך אחת.
7. כל זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית על אותה קשת — מכיוון שכל זווית היקפית על קשת AB שווה לחצי הזווית המרכזית (קבועה), כל הזוויות ההיקפיות שוות.
8. 540° — סכום זוויות פנימיות של מחומש = (5−2)·180° = 540°.
9. 12 — PT² = PB · PC: 36 = 3 · PC, PC = 12. PD = PC = 12 (כאשר D = C).
10. 220° — הזווית ההיקפית מהצד הגדול נשענת על הקשת הגדולה: קשת גדולה = 2 × 110° = 220°.