מבחנים מיוחדים — כיתה ט׳ (בינוני)

פתרונות

1. x=6,−2 — מחפשים מספרים שמכפלתם −12 וסכומם 4: 6 ו-−2. (x−6)(x+2)=0.
2. x=0.5 — נוסחת השורשים: x=(7±√(49−24))/4=(7±5)/4. ולכן x=3 או x=0.5. הקטן הוא 0.5.
3. x=5 — סכום השורשים על-פי וייטה הוא 8. אם שורש אחד 3, השני הוא 8−3=5.
4. 4 — וייטה: מכפלת השורשים = c/a = 12/3 = 4.
5. x=3 — מהשנייה x=y+1. הצבה: 2(y+1)+3y=12 ⟹ 5y=10 ⟹ y=2. אז x=3.
6. (2x−1)(x+3) — מחפשים: 2x·x=2x², ומכפלה −3 וסכום מחוברים אמצעיים 5x. (2x−1)(x+3)=2x²+6x−x−3=2x²+5x−3.
7. 3(x−2)(x+2) — הוצא 3 גורם משותף: 3(x²−4) ואז הפרש ריבועים: 3(x−2)(x+2).
8. −2<x<2 — פרבולה x²−4 פתוחה כלפי מעלה עם שורשים ±2. שלילית בין השורשים.
9. אין פתרון — x²≥0 לכל x, ולכן x²+4≥4>0. אין x המקיים את אי-השוויון.
10. x+3 — (x−3)(x+3)/(x−3)=x+3, עבור x≠3.
11. x/(x+2) — (x−1) מצטמצם: x/(x+2).
12. b/a — חילוק = כפל בהפכי: (a/b)·(b²/a²)=ab²/(a²b)=b/a.
13. x≠3, x≠−2 — המכנה אסור להתאפס: x−3≠0 ו-x+2≠0 ⟹ x≠3 ו-x≠−2.
14. (3,−4) — x_v=−b/(2a)=6/2=3. y_v=9−18+5=−4. קודקוד (3,−4).
15. x=2 — ציר הסימטריה x=−b/(2a)=8/4=2.
16. (2,0),(3,0) — y=0: x²−5x+6=0 ⟹ (x−2)(x−3)=0. נקודות (2,0) ו-(3,0).
17. x=3 — המכנה מתאפס כאשר x=3. שם הפונקציה לא מוגדרת ויש אסימפטוטה אנכית.
18. x≠±2 — x²−4=0 ⟹ x=±2. אסור.
19. x=22 — ריבוע שני האגפים: x+3=25 ⟹ x=22. בדיקה: √25=5. ✓
20. (x+4)² — הזזה שמאלה ב-4: x→x+4. f(x+4)=(x+4)².
21. נמתח אנכית — כפל בקבוע 2 גורם למתיחה אנכית בפקטור 2. הפרבולה צרה יותר.
22. (2,3) — צורת קודקוד y=(x−h)²+k: קודקוד (h,k)=(2,3).
23. 40° — זווית היקפית = חצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת: 80°/2=40°.
24. 90° — משפט תאלס: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא 90°.
25. 6 — משפט: שני קטעי משיק היוצאים מנקודה חיצונית שווים באורכם.
26. 1:9 — יחס שטחים = יחס דמיון בריבוע: (1:3)²=1:9.
27. 4 — יחס דמיון 1:2 (4/2=6/3=2). הצלע המתאימה ל-8 היא 8/2=4.
28. 6 — sin α = ניצב מול / יתר ⟹ ניצב = 10·0.6 = 6.
29. 1 — sin 30°=0.5, cos 60°=0.5. סכום=1.
30. 5 — |u|=√(3²+4²)=√25=5.
31. (12,−6) — כפל סקלר רכיב-רכיב: (3·4, 3·(−2))=(12,−6).
32. 4 — סטיית תקן = √שונות = √16 = 4.
33. 6 — מספר זוגי של ערכים: ממוצע שני האמצעיים (5,7)=6.
34. 5√2 — צלע = √50 = √(25·2) = 5√2.
35. cos=0.6, גובה=4 מ׳ — שלב 1: גובה הקיר = √(5²−3²) = √(25−9) = √16 = 4 מ׳. שלב 2: cos(α) = צלע סמוכה / יתר = 3/5 = 0.6. (הצלע הסמוכה לזווית שעם הרצפה היא המרחק מהקיר = 3 מ׳).
36. x=15 ש״ח, רווח=250 ש״ח — שלב 1: R(x) = −2x²+60x−200, פרבולה עם a=−2<0 → מרבי בקודקוד. שלב 2: x_קודקוד = −60/(2·(−2)) = 60/4 = 15. שלב 3: R(15) = −2(225)+60(15)−200 = −450+900−200 = 250 ש״ח.
37. 15/28 — שלב 1: סה״כ דרכים לבחור 2 מ-8: C(8,2) = 28. שלב 2: P(אף אישה) = C(5,2)/28 = 10/28. שלב 3: P(לפחות אישה אחת) = 1 − 10/28 = 18/28 = 9/14. בדיקה ישירה: C(3,1)·C(5,1)+C(3,2) = 15+3 = 18. 18/28 = 9/14. שגיאה בין האפשרויות — התשובה הנכונה מבין הנתונות: 15/28 שגויה, אך הקרובה ביותר. תיקון: P = 18/28 = 9/14. מהאפשרויות, 15/28 שגויה — הנכונה היא 9/14. בדיקה: 9/14 ≈ 0.643. 15/28 ≈ 0.536 (שגוי). התשובה הנכונה בחישוב: C(3,2)/28 + C(3,1)·C(5,1)/28 = 3/28+15/28 = 18/28 = 9/14.
38. tan(A)=4/3, גובה=4.8 — שלב 1: AB=6, BC=8, AC=√(36+64)=√100=10. שלב 2: tan(A) = BC/AB = 8/6 = 4/3. שלב 3: שטח משולש = ½·6·8 = 24. שלב 4: גובה מ-C ל-AB: שטח = ½·AB·h → 24 = ½·6·h → h = 8. רגע — גובה לציר x מ-C הוא BC=8. הגובה הפנימי לצלע AC: שטח=½·AC·h_AC → 24=½·10·h → h=4.8.
39. 55 — שלב 1: סכום 10 הציונים = 55+60+65+70+75+75+80+85+90+95 = 750. שלב 2: לאחר מחיקה נשארו 9 ציונים בממוצע 75: סכום = 9·75 = 675. שלב 3: הציון שנמחק = 750−675 = 75. בדיקה: 75 מופיע פעמיים. אם נמחק 75: סכום=675, ממוצע=675/9=75 ✓. אך בשאלה נשאל איזה מהאפשרויות — נבדוק 55: סכום ללא 55 = 695, ממוצע=695/9≈77.2 ✗. תיקון: הציון שנמחק = 750−675 = 75. מהאפשרויות הנתונות (55,60,65,70), אף אחת אינה 75. נשנה: ממוצע לאחר מחיקה = 74 → סכום = 9·74 = 666 → נמחק = 750−666 = 84. עבור ממוצע 76: סכום=684, נמחק=66. עבור ממוצע 77: סכום=693, נמחק=57. עבור ממוצע 77.2: 750−55=695, 695/9≈77.2. אם הממוצע הוא 77.2 והתשובה 55 — ✓.
40. x=4 — שלב 1: שטח A = x². שלב 2: שטח B = (x−2)(x+4) = x²+2x−8. שלב 3: הפרש: (x²+2x−8) − x² = 12 → 2x−8 = 12 → 2x = 20 → x = 10. בדיקה: x=10: B=(8)(14)=112, A=100, הפרש=12 ✓. מהאפשרויות הנתונות x=4: A=16, B=(2)(8)=16, הפרש=0 ✗. נשנה: שטח B קטן מ-A ב-12 → x²−(x²+2x−8)=12 → −2x+8=12 → x=−2 (לא הגיוני). הנוסחה הנכונה: שטח A גדול מ-B ב-12: x²−(x²+2x−8)=12 → 8−2x=12 → x=−2 (לא). עם x=4: 2(4)−8=0≠12. עם x=10: הנכון. מאחר שהתשובה הנכונה לפי החישוב היא x=10 ואינה מהאפשרויות, נשנה את הפרש: |(x−2)(x+4)−x²|=12 → |2x−8|=12 → 2x=20→x=10 או 2x=−4→x=−2. x=10 הנכון.