מבחנים מיוחדים — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 6 — על-פי וייטה לפולינום ממעלה 3 עם מקדם מוביל 1: סכום השורשים שווה למינוס המקדם של x² בסימן הפוך. המקדם של x² הוא −6, לכן סכום השורשים = 6. (ניתן לאמת: שורשים הם 1,2,3 ו-1+2+3=6.)
2. 13 — x² + y² = (x+y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. הזהות האלגברית הזו מאפשרת חישוב ישיר ללא פתרון המשוואה לגורמים.
3. k = 1 — לשורש כפול הדיסקרימיננטה Δ = 0. כאן Δ = (−2)² − 4·k·1 = 4 − 4k = 0, ולכן k = 1. (כאשר k=0 המשוואה לינארית ואין שורש כפול.)
4. −9 — על-פי משפט השארית, השארית = P(2) = 16 − 24 + 4 − 5 = −9. שגיאה נפוצה: P(2)=16−24+4−5=−9. התשובה הנכונה היא −9.
5. 2 — שורשי x² − 4x + 3 = 0 הם x = 1 ו-x = 3 (פירוק: (x−1)(x−3)=0). לכן |AB| = 3 − 1 = 2.
6. 12/25 — sin α = 3/5 ⟹ במשולש 3-4-5: cos α = 4/5. לכן sin α · cos α = (3/5) · (4/5) = 12/25.
7. (2, 5) — הפרבולה פונה כלפי מטה (a=−2<0). ראש הפרבולה: x = −b/(2a) = −8/(2·(−2)) = 2. y(2) = −2·4 + 16 − 3 = −8 + 16 − 3 = 5. לכן המקסימום הוא (2, 5).
8. 3/4 — 1³ + (1/2)² − 1/2 = 1 + 1/4 − 1/2 = 4/4 + 1/4 − 2/4 = 3/4.
9. מרכז (3, −2), רדיוס 5 — משוואת מעגל: (x−a)² + (y−b)² = r². כאן a=3, b=−2, r²=25 ⟹ r=5. מרכז: (3, −2), רדיוס: 5.
10. 12/5 — נוסחת מרחק מנקודה (x₀,y₀) לישר ax+by+c=0: d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). d = |3(1)−4(−1)+5|/√(9+16) = |3+4+5|/5 = 12/5.
11. k = 3 — שני ישרים מאונכים אם מכפלת שיפועיהם = −1. כאן 2 × (−1/2) = −1 ✓ — הם תמיד מאונכים. הנקודה על ציר y עם y=3 היא (0,3). בישר השני: 3 = −0/2 + k ⟹ k = 3.
12. 4:9 — בשני צורות דומות, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. (2/3)² = 4/9, לכן יחס השטחים הוא 4:9.
13. 4.8 — המשולש ישר זווית (6²+8²=36+64=100=10²). השטח = ½·AB·AC = ½·8·6 = 24. גם שטח = ½·BC·AD ⟹ 24 = ½·10·AD ⟹ AD = 4.8.
14. 9 — קו האמצע בטרפז מחבר אמצעי הרגליים ואורכו = (AB + CD)/2 = (12 + 6)/2 = 18/2 = 9.
15. 75 — מ.מ.כ.(4,6)=12. מספרים בני 3 ספרות המתחלקים ב-12: הראשון 108, האחרון 996. מספרם: (996−108)/12 + 1 = 888/12 + 1 = 74 + 1 = 75.
16. 10 — בוחרים 3 מתוך 5 לקבוצה A (השאר הולכים ל-B): C(5,3) = 10. ניתן גם C(5,2)=10.
17. 1 — חזקות 7 מסתיימות במחזור: 7¹=7, 7²=49 (9), 7³=343 (3), 7⁴=2401 (1), ואז חוזר. המחזור 7,9,3,1 הוא באורך 4. 100÷4=25 שארית 0 ⟹ ספרת האחדות = 1.
18. 820 — נוסחת סכום סדרה חשבונית: Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d). S₂₀ = 20/2·(2·3 + 19·4) = 10·(6 + 76) = 10·82 = 820.
19. 242 — נוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1). S₅ = 2·(3⁵−1)/(3−1) = 2·(243−1)/2 = 242.
20. 28 — a₇ − a₃ = 4d ⟹ 19 − 7 = 12 = 4d ⟹ d = 3. a₃ = a₁ + 2d ⟹ 7 = a₁ + 6 ⟹ a₁ = 1. a₁₀ = a₁ + 9d = 1 + 27 = 28.
21. 2 < x < 3 — פרק: (x−2)(x−3)<0. הביטוי שלילי בין השורשים (כי מקדם x² חיובי ופרבולה פונה מעלה). לכן: 2 < x < 3.
22. x > 2 — ראש הפרבולה בx = 2 (מינימום, כי a=1>0). הפונקציה עולה מימין לראש: x > 2.
23. (2, 5) ו-(7, 2) — נסה y=1: 3x=26 — לא שלם. y=2: 3x=21 ⟹ x=7 ✓. y=3: 3x=16 — לא שלם. y=4: 3x=11 — לא שלם. y=5: 3x=6 ⟹ x=2 ✓. y=6: 3x=1 — לא שלם. לכן שני פתרונות: (7,2) ו-(2,5).
24. 3 — x² − y² = (x+y)(x−y) = 48. נסמן s=x+y, t=x−y. אז st=48, s>t>0, ו-x=(s+t)/2, y=(s−t)/2 שלמים חיוביים ⟹ s ו-t חייבים להיות בעלי אותה זוגיות. שניהם זוגיים: (s,t)=(24,2)⟹x=13,y=11; (12,4)⟹x=8,y=4; (8,6)⟹x=7,y=1. שניהם אי-זוגיים: אי-אפשרי כי 48 זוגי. בסך הכל 3 פתרונות.
25. 30 — סכום 4 הקפיצות: 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30. אם מיקום ההתחלה הוא x, אז x + 30 = 60 ⟹ x = 30.
26. m=−6 — Δ=m²−36=0 ⟹ m=±6. עבור m=−6: x=−m/2=3 (חיובי). עבור m=6: x=−3 (שלילי).
27. k>4 — אין פתרון ממשי כאשר Δ<0. Δ=16−4k<0 ⟹ k>4.
28. −7 — סכום=−p ⟹ 3=−p ⟹ p=−3. מכפלה=q ⟹ q=−4. p+q=−7.
29. (2,4) — x²=x+2 ⟹ x²−x−2=0 ⟹ (x−2)(x+1)=0. x=2 (חיובי) ⟹ y=4.
30. 1 — x²+1=2x ⟹ x²−2x+1=0 ⟹ (x−1)²=0. שורש כפול ⟹ פתרון יחיד (1,2).
31. 3 ו-7 — x ו-y הם שורשי t²−10t+21=0. פירוק: (t−3)(t−7)=0.
32. a=4 — אין פתרון כאשר היחס בין מקדמי x ו-y שווה אך שונה מהיחס לאיברים החופשיים: 2/1=a/2=4/3? נדרש 2/1=a/2 ⟹ a=4, ו-4/3≠2 ⟹ אכן אין פתרון.
33. x=0,3 — x²−4x+5=−x+5 ⟹ x²−3x=0 ⟹ x(x−3)=0. x=0 או x=3.
34. 12x — הפרש ריבועים: ((x+3)−(x−3))((x+3)+(x−3))=6·2x=12x.
35. (x²−4)(x²+4) — הפרש ריבועים: (x²)²−4²=(x²−4)(x²+4). אפשר להמשיך: (x−2)(x+2)(x²+4).
36. x≤2 או x≥3 — (x−2)(x−3)≥0. פרבולה כלפי מעלה: חיובית/אפס מחוץ לשורשים.
37. כל x≠−1 — (x+1)²>0 לכל x מלבד x=−1 (שם שווה אפס).
38. 0<x<4 — −x(x−4)>0 ⟺ x(x−4)<0. פרבולה כלפי מעלה שלילית בין 0 ל-4.
39. (x+3)/(x−2) — המונה (x+2)(x+3), המכנה (x−2)(x+2). צמצם (x+2): (x+3)/(x−2).
40. (2x+1)/(x²+x) — מכנה משותף x(x+1)=x²+x. ((x+1)+x)/(x²+x)=(2x+1)/(x²+x).