⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ט׳ · רמה קשה · 20 שאלות
מבחנים מיוחדים — כיתה ט׳ (קשה)
שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20
- נתון הפולינום P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6. מה סכום שורשי P(x)?
- פתור את מערכת המשוואות הלא-לינארית: x + y = 5, xy = 6. מהו x² + y²?
- מצא את כל ערכי k שעבורם למשוואה kx² − 2x + 1 = 0 יש שורש כפול.
- כאשר מחלקים את הפולינום P(x) = x⁴ − 3x³ + 2x − 5 ב-(x−2), מה השארית?
- הפרבולה y = x² − 4x + 3 חותכת את ציר ה-x בנקודות A ו-B. מה אורך הקטע AB?
- נתון: sin α = 3/5 וזווית α חדה. חשב את הביטוי: sin α · cos α.
- מהי הנקודה הגבוהה ביותר (מקסימום) של הפרבולה y = −2x² + 8x − 3?
- נתון: tan 45° = 1, sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2. חשב: (tan 45°)³ + (sin 30°)² − cos 60°.
- מצא את מרכז המעגל ורדיוסו: (x−3)² + (y+2)² = 25.
- הישר l: 3x − 4y + 5 = 0. מהו המרחק מהנקודה A(1, −1) לישר l?
- שני ישרים: y = 2x + 1 ו-y = −x/2 + k. לאיזה ערך k הם מאונכים זה לזה ועוברים שניהם דרך נקודה על ציר y עם אורדינטה 3?
- בשני משולשים דומים, יחס הדמיון הוא 2:3. מה יחס שטחיהם?
- במשולש ABC: AB = 8, AC = 6, BC = 10. D הוא נקודה על BC כך ש-AD ⊥ BC. מהו אורך AD?
- בטרפז ABCD: AB ∥ CD, AB = 12, CD = 6, גובה הטרפז = 8. E הוא אמצע AD, F אמצע BC. מה אורך EF (קו אמצע)?
- כמה מספרים בני 3 ספרות (מ-100 עד 999) מתחלקים גם ב-4 וגם ב-6?
- מחזור שחמטים מחלקים 5 שחקנים לשניים: 3 בקבוצה A ו-2 בקבוצה B. בכמה דרכים ניתן לחלק?
- מצא את ספרת האחדות של 7¹⁰⁰.
- סדרה חשבונית: האיבר הראשון a₁ = 3, ההפרש d = 4. מה סכום 20 האיברים הראשונים?
- סדרה הנדסית: a₁ = 2, מנה q = 3. מהו הסכום של 5 האיברים הראשונים?
- בסדרה חשבונית, a₃ = 7 ו-a₇ = 19. מה ערך a₁₀?
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il
פתרונות
- 6 — על-פי וייטה לפולינום ממעלה 3 עם מקדם מוביל 1: סכום השורשים שווה למינוס המקדם של x² בסימן הפוך. המקדם של x² הוא −6, לכן סכום השורשים = 6. (ניתן לאמת: שורשים הם 1,2,3 ו-1+2+3=6.)
- 13 — x² + y² = (x+y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. הזהות האלגברית הזו מאפשרת חישוב ישיר ללא פתרון המשוואה לגורמים.
- k = 1 — לשורש כפול הדיסקרימיננטה Δ = 0. כאן Δ = (−2)² − 4·k·1 = 4 − 4k = 0, ולכן k = 1. (כאשר k=0 המשוואה לינארית ואין שורש כפול.)
- −9 — על-פי משפט השארית, השארית = P(2) = 16 − 24 + 4 − 5 = −9. שגיאה נפוצה: P(2)=16−24+4−5=−9. התשובה הנכונה היא −9.
- 2 — שורשי x² − 4x + 3 = 0 הם x = 1 ו-x = 3 (פירוק: (x−1)(x−3)=0). לכן |AB| = 3 − 1 = 2.
- 12/25 — sin α = 3/5 ⟹ במשולש 3-4-5: cos α = 4/5. לכן sin α · cos α = (3/5) · (4/5) = 12/25.
- (2, 5) — הפרבולה פונה כלפי מטה (a=−2<0). ראש הפרבולה: x = −b/(2a) = −8/(2·(−2)) = 2. y(2) = −2·4 + 16 − 3 = −8 + 16 − 3 = 5. לכן המקסימום הוא (2, 5).
- 3/4 — 1³ + (1/2)² − 1/2 = 1 + 1/4 − 1/2 = 4/4 + 1/4 − 2/4 = 3/4.
- מרכז (3, −2), רדיוס 5 — משוואת מעגל: (x−a)² + (y−b)² = r². כאן a=3, b=−2, r²=25 ⟹ r=5. מרכז: (3, −2), רדיוס: 5.
- 12/5 — נוסחת מרחק מנקודה (x₀,y₀) לישר ax+by+c=0: d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). d = |3(1)−4(−1)+5|/√(9+16) = |3+4+5|/5 = 12/5.
- k = 3 — שני ישרים מאונכים אם מכפלת שיפועיהם = −1. כאן 2 × (−1/2) = −1 ✓ — הם תמיד מאונכים. הנקודה על ציר y עם y=3 היא (0,3). בישר השני: 3 = −0/2 + k ⟹ k = 3.
- 4:9 — בשני צורות דומות, יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. (2/3)² = 4/9, לכן יחס השטחים הוא 4:9.
- 4.8 — המשולש ישר זווית (6²+8²=36+64=100=10²). השטח = ½·AB·AC = ½·8·6 = 24. גם שטח = ½·BC·AD ⟹ 24 = ½·10·AD ⟹ AD = 4.8.
- 9 — קו האמצע בטרפז מחבר אמצעי הרגליים ואורכו = (AB + CD)/2 = (12 + 6)/2 = 18/2 = 9.
- 75 — מ.מ.כ.(4,6)=12. מספרים בני 3 ספרות המתחלקים ב-12: הראשון 108, האחרון 996. מספרם: (996−108)/12 + 1 = 888/12 + 1 = 74 + 1 = 75.
- 10 — בוחרים 3 מתוך 5 לקבוצה A (השאר הולכים ל-B): C(5,3) = 10. ניתן גם C(5,2)=10.
- 1 — חזקות 7 מסתיימות במחזור: 7¹=7, 7²=49 (9), 7³=343 (3), 7⁴=2401 (1), ואז חוזר. המחזור 7,9,3,1 הוא באורך 4. 100÷4=25 שארית 0 ⟹ ספרת האחדות = 1.
- 820 — נוסחת סכום סדרה חשבונית: Sₙ = n/2·(2a₁ + (n−1)d). S₂₀ = 20/2·(2·3 + 19·4) = 10·(6 + 76) = 10·82 = 820.
- 242 — נוסחת סכום סדרה הנדסית: Sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1). S₅ = 2·(3⁵−1)/(3−1) = 2·(243−1)/2 = 242.
- 28 — a₇ − a₃ = 4d ⟹ 19 − 7 = 12 = 4d ⟹ d = 3. a₃ = a₁ + 2d ⟹ 7 = a₁ + 6 ⟹ a₁ = 1. a₁₀ = a₁ + 9d = 1 + 27 = 28.