מבחנים מיוחדים — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. 6 — על-פי וייטה לפולינום ממעלה 3 עם מקדם מוביל 1: סכום השורשים שווה למינוס המקדם של x² בסימן הפוך. המקדם של x² הוא −6, לכן סכום השורשים = 6. (ניתן לאמת: שורשים הם 1,2,3 ו-1+2+3=6.)
2. 13 — x² + y² = (x+y)² − 2xy = 25 − 12 = 13. הזהות האלגברית הזו מאפשרת חישוב ישיר ללא פתרון המשוואה לגורמים.
3. k = 1 — לשורש כפול הדיסקרימיננטה Δ = 0. כאן Δ = (−2)² − 4·k·1 = 4 − 4k = 0, ולכן k = 1. (כאשר k=0 המשוואה לינארית ואין שורש כפול.)
4. −9 — על-פי משפט השארית, השארית = P(2) = 16 − 24 + 4 − 5 = −9. שגיאה נפוצה: P(2)=16−24+4−5=−9. התשובה הנכונה היא −9.
5. 2 — שורשי x² − 4x + 3 = 0 הם x = 1 ו-x = 3 (פירוק: (x−1)(x−3)=0). לכן |AB| = 3 − 1 = 2.
6. 12/25 — sin α = 3/5 ⟹ במשולש 3-4-5: cos α = 4/5. לכן sin α · cos α = (3/5) · (4/5) = 12/25.
7. (2, 5) — הפרבולה פונה כלפי מטה (a=−2<0). ראש הפרבולה: x = −b/(2a) = −8/(2·(−2)) = 2. y(2) = −2·4 + 16 − 3 = −8 + 16 − 3 = 5. לכן המקסימום הוא (2, 5).
8. 3/4 — 1³ + (1/2)² − 1/2 = 1 + 1/4 − 1/2 = 4/4 + 1/4 − 2/4 = 3/4.
9. מרכז (3, −2), רדיוס 5 — משוואת מעגל: (x−a)² + (y−b)² = r². כאן a=3, b=−2, r²=25 ⟹ r=5. מרכז: (3, −2), רדיוס: 5.
10. 12/5 — נוסחת מרחק מנקודה (x₀,y₀) לישר ax+by+c=0: d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). d = |3(1)−4(−1)+5|/√(9+16) = |3+4+5|/5 = 12/5.