מבחנים מיוחדים — כיתה ט׳ (קל)

פתרונות

1. x=3 — פירוק: (x−2)(x−3)=0, ולכן x=2 או x=3. הפתרון הגדול הוא x=3.
2. (5,2) — חיבור המשוואות: 2x=10 ⟹ x=5. ואז y=7−5=2.
3. (x−3)(x+3) — הפרש ריבועים: a²−b²=(a−b)(a+b). כאן a=x, b=3.
4. (x+3)² — ריבוע שלם: a²+2ab+b²=(a+b)². 6x=2·x·3 ו-9=3².
5. x²−25 — (a−b)(a+b)=a²−b² ⟹ x²−25.
6. x≥4 — ביטוי תחת שורש ריבועי חייב להיות אי-שלילי: x−4≥0 ⟹ x≥4.
7. 90° — הרדיוס לנקודת ההשקה תמיד מאונך למשיק. זווית של 90°.
8. 45° — tan 45°=1.
9. (5,5) — סיכום וקטורים רכיב-רכיב: (2+3,1+4)=(5,5).
10. 6 — סכום=30, חלקי 5: 30/5=6.
11. רוחב 4 מ׳, אורך 7 מ׳ — שלב 1: x(x+3)=28 → x²+3x−28=0. שלב 2: פירוק לגורמים: (x+7)(x−4)=0. שלב 3: x=4 (x=−7 נדחה כי אורך שלילי). שלב 4: רוחב=4 מ׳, אורך=7 מ׳. בדיקה: 4×7=28 ✓.
12. 22 מ׳ — שלב 1: h(t) = −5t²+20t+2 היא פרבולה עם a=−5<0, מכסימום בקודקוד. שלב 2: t_קודקוד = −b/(2a) = −20/(2·(−5)) = 20/10 = 2 שניות. שלב 3: h(2) = −5·4+20·2+2 = −20+40+2 = 22 מ׳.
13. 0.6 — שלב 1: מצא את הרגל השנייה: b² = 10²−6² = 100−36 = 64 → b=8. שלב 2: sin(α) = צלע נגדית / יתר = 6/10 = 0.6.
14. ממוצע 84, סטיית תקן ≈ 10.2 — שלב 1: ממוצע = (70+80+80+90+100)/5 = 420/5 = 84. שלב 2: סטיות מהממוצע: −14, −4, −4, 6, 16. שלב 3: שונות = (196+16+16+36+256)/5 = 520/5 = 104. שלב 4: סטיית תקן = √104 ≈ 10.2.
15. 5,624 ש״ח — שלב 1: נוסחת ריבית דריבית: A = P·(1+r)ⁿ. שלב 2: A = 5000·(1.04)³. שלב 3: 1.04³ = 1.04·1.04·1.04 = 1.124864. שלב 4: A = 5000·1.124864 ≈ 5,624 ש״ח.
16. שיפוע 1, חיתוך y=2 — שלב 1: שיפוע = (7−3)/(5−1) = 4/4 = 1. שלב 2: משוואת הקו: y−3 = 1·(x−1) → y = x+2. שלב 3: חיתוך עם ציר y (x=0): y=2.
17. 2/15 — שלב 1: P(ראשון אדום) = 4/10 = 2/5. שלב 2: P(שני אדום | ראשון אדום) = 3/9 = 1/3. שלב 3: P(שניהם אדומים) = (2/5)·(1/3) = 2/15.
18. קודקוד (3,−4), חיתוך x=1 ו-x=5 — שלב 1: x_קודקוד = −(−6)/(2·1) = 3. שלב 2: y_קודקוד = 9−18+5 = −4. קודקוד: (3,−4). שלב 3: חיתוך ציר x: x²−6x+5=0 → (x−1)(x−5)=0 → x=1, x=5.
19. 2 מ׳ — שלב 1 — פתיחת הסוגריים: x² + x = 6 → x² + x − 6 = 0. שלב 2 — פקטוריזציה: (x + 3)(x − 2) = 0. שלב 3 — פתרונות: x = −3 (לא רלוונטי, אורך שלילי) או x = 2. הרוחב הוא 2 מ׳ והאורך הוא 3 מ׳ (בדיקה: 2 × 3 = 6 ✓).
20. 16 מ׳ — פונקציה ריבועית עם a = −1 < 0, לכן יש מקסימום בקודקוד. שלב 1 — זמן הגובה המרבי: t = −b/(2a) = −6/(2×(−1)) = 6/2 = 3 שניות. שלב 2 — גובה מרבי: h(3) = −(3²) + 6×3 + 7 = −9 + 18 + 7 = 16 מ׳.
21. 20 ס״מ — שלב 1 — יחס טריגונומטרי: sin(30°) = נגדית/יתר. שלב 2 — הצבה: 0.5 = 10/יתר. שלב 3 — יתר = 10/0.5 = 20 ס״מ. בדיקה: sin(30°) = 10/20 = 0.5 ✓
22. 3,375 ₪ — ריבית דריבית: A = קרן × (1 + r)ⁿ. שלב 1: 1.04² = 1.0816. שלב 2: 1.04³ = 1.0816 × 1.04 = 1.124864. שלב 3: A = 3,000 × 1.124864 ≈ 3,374.6 ₪ ≈ 3,375 ₪.
23. 5 ק״מ — נוסחת המרחק: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). שלב 1: הפרש x = 4 − 1 = 3; הפרש y = 6 − 2 = 4. שלב 2: d = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 ק״מ.
24. כן, שניהם 8 — שלב 1 — חציון: הנתונים מסודרים: 4, 7, 8, 10, 11; האמצעי הוא הערך השלישי = 8. שלב 2 — ממוצע: (4 + 7 + 8 + 10 + 11) / 5 = 40 / 5 = 8. ממוצע = חציון = 8.
25. 1/25 — הסתברות גיאומטרית = שטח האזור הרצוי / שטח כולל. שלב 1 — שטח מעגל פנימי: π × 2² = 4π. שלב 2 — שטח כל המטרה: π × 10² = 100π. שלב 3 — הסתברות: 4π / 100π = 4/100 = 1/25.
26. x = 3 ו-x = 4 — x² − 7x + 12 = 0; a=1, b=−7, c=12. שלב 1 — דיסקרימיננטה: Δ = (−7)² − 4×1×12 = 49 − 48 = 1. שלב 2 — שורשים: x = (7 ± √1)/2 = (7 ± 1)/2. שלב 3 — x₁ = 8/2 = 4; x₂ = 6/2 = 3. בדיקה: (3−3)(3−4) = 0 ✓; (4−3)(4−4) = 0 ✓
27. x = 2 או x = 3 — פירוק לגורמים: x²−5x+6 = (x−2)(x−3) = 0 → x = 2 או x = 3. שניהם חיוביים ומתאימים לנסיבה.
28. קודקוד (2, −1), פתוחה למעלה — x_קודקוד = −b/(2a) = 4/2 = 2. y_קודקוד = 4−8+3 = −1. a = 1 > 0 → פתוחה למעלה. קודקוד: (2, −1).
29. 5 מ׳ — גובה = אורך חוט × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 מ׳.
30. 7/12 — סה״כ כדורים: 4+3+5 = 12. כדורים שאינם ירוקים: 4+3 = 7. הסתברות = 7/12.
31. ממוצע 80, חציון 80 — ממוצע = (70+75+80+85+90)/5 = 400/5 = 80. החציון הוא הערך האמצעי (3 מתוך 5): 80.
32. 50% — מכפיל כולל: 1.20 × 1.25 = 1.50 → עלייה כוללת של 50%.
33. 4 יחידות — A ו-B על אותו גובה (y=4). אורך AB = |7−3| = 4 יחידות.
34. בנקודות (3, 0) ו-(−3, 0) — מציבים f(x)=0: x²−9=0 → x²=9 → x=3 או x=−3. נקודות חיתוך: (3,0) ו-(−3,0).
35. x = 2 ו־x = 3 — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5. 2 × 3 = 6, 2 + 3 = 5. לכן: (x − 2)(x − 3) = 0, ומכאן x = 2 או x = 3.
36. 10 — במשולש 30-60-90: היתר = 2 × הצלע שמול 30°. לכן יתר = 2 × 5 = 10.
37. 2 — מציאת שורשים: x² − 4x + 3 = 0 → (x − 1)(x − 3) = 0 → x = 1 או x = 3. המרחק בין (1,0) ל-(3,0) = |3 − 1| = 2.
38. 5,408 ש״ח — ריבית דריבית: A = P × (1 + r)ⁿ = 5,000 × 1.0816 = 5,408 ש״ח.
39. 4/5 — יתר = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10. הזווית החדה הגדולה נמצאת מול הרגל הגדולה יותר (8). sin = נגדי/יתר = 8/10 = 4/5.
40. 7 — פירוק לגורמים: (x − 3)(x − 4) = 0, ולכן x = 3 או x = 4. סכום השורשים: 3 + 4 = 7. (לפי משפט ויאטה: סכום השורשים = −b/a = 7.)