אלגברה — כיתה ט׳ (קשה)

פתרו: x⁴ − 5x² + 4 = 0 (הצבה t = x²)

פרקו לגורמים לחלוטין: 2x³ − 8x

פתרו: (x + 1)/(x − 1) = 3/(x − 1) + 2 עבור x ≠ 1

מצאו כמה ערכי שלמים x מקיימים: x² − 6x + 5 < 0

פתרו: √(x + 3) = x − 3

מצאו את ערכי m עבורם למשוואה mx² − 6x + m = 0 יש שני פתרונות ממשיים שונים

פשטו: (√6 + √2)(√6 − √2)

פתרו את מערכת: x² + y² = 10 ו-x − y = 2

חברו: 1/x + 1/(x + 1) + 1/(x(x + 1)) עבור x ≠ 0, −1

פרקו לגורמים לחלוטין: x⁴ − 16

פתרו: |x² − 5| = 4

מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = √(x² − 4)

פתרו: x/(x − 1) + 2/(x + 1) = 2 עבור x ≠ ±1

הראו ש-(a + b)² − (a − b)² = 4ab. מהו הערך ל-a = 5, b = 3?

מצאו את ערכי x עבורם x² − 2x − 3 > 0

פתרו: √(x + 7) − √(x − 1) = 2

כדור נורה בזווית ישרה לגובה. גובהו h(t) = 40t − 5t². מה הגובה המקסימלי?

בגרף y = x² + bx + c, קודקוד ב-(3, −4). מה ערכי b ו-c?

גן ילדים מלבני שמחוסה גדר מ-3 צדדים בלבד (צד 4 הוא קיר). אורך החומר 60 מ׳. מה המידות שנותנות שטח מקסימלי?

עבור אילו ערכי k המשוואה kx² + 6x + k = 0 תהיה לה שני פתרונות ממשיים שונים?

סכום ריבועי שני מספרים חיוביים 100. מה מכפלתם המקסימלית?

תאגיד מרוויח P(x) = −2x² + 80x − 300 אלפי ש״ח כאשר x הוא מחיר המוצר בש״ח. מה המחיר שימקסם את הרווח?

חידה: מצאו את כל המספרים הטבעיים n כך ש- n² + n + 41 מתחלק ב-41.

פתרו בהשלמה לריבוע: 2x² + 8x − 10 = 0.

מצאו את מספר הפתרונות של x² + px + 1 = 0 כאשר p = 2.

עבור אילו ערכי k יש ל-x² − 6x + k = 0 שני פתרונות ממשיים?

פתרו מערכת: x² + y² = 25 ו-x + y = 7.

פתרו: x⁶ − 7x³ − 8 = 0.

פתרו: |x² − 4x| = 5.

פתרו מערכת אי-שוויונות: x² − 4x < 0 ו-x² − 2x − 3 > 0.

כדור נזרק כלפי מעלה מגובה 5 מ׳ לפי h(t) = −5t² + 15t + 5. מהו הגובה המקסימלי?

גזרה מלבנית צמודה לנהר (צד אחד פתוח). גדר 80 מ׳. מהו השטח המקסימלי?

מצאו ערכי m עבורם x² + mx + 4 = 0 אין פתרון ממשי.

פתרו: |x − 1| < x².

i מוגדר כ-√(−1). חשבו i² + i³ + i⁴.

חשבו (2 + 3i)(2 − 3i) כאשר i = √(−1).

פתרו: x² + 4 = 0 במספרים מרוכבים.

ידועים שורשי x² − px + q = 0 הם x₁ ו-x₂. כתבו ביטוי עבור x₁² + x₂².

גזרה מלבנית מוקפת בגדר 120 מ׳, עם מחיצה פנימית מקבילה לרוחב. מהו השטח המקסימלי?

פתרו: x⁴ − 5x² + 4 ≤ 0.