אלגברה — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. x = ±1 או x = ±2 — t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → (t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 או t = 4. x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2.
2. 2x(x − 2)(x + 2) — 2x³ − 8x = 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2).
3. x = 0 — כפלו ב־(x − 1): x + 1 = 3 + 2(x − 1) = 2x + 1. → x = 0. בדיקה: x = 0 מותר. (0+1)/(0−1) = −1. 3/(0−1) + 2 = −1. ✓
4. 3 ערכים (x = 2, 3, 4) — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). פתרון: 1 < x < 5. הערכים השלמים: 2, 3, 4 — סך הכול 3 ערכים.
5. x = 6 — העלו לריבוע: x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9 → x² − 7x + 6 = 0 → (x − 1)(x − 6) = 0. x = 1: √4 = 2, 1 − 3 = −2 — לא מתאים (שורש שלילי). x = 6: √9 = 3, 6 − 3 = 3. ✓
6. −3 < m < 3 ו-m ≠ 0 — לשני פתרונות: Δ > 0. Δ = 36 − 4m² > 0 → m² < 9 → −3 < m < 3. גם m ≠ 0 (כדי שתהיה משוואה ריבועית).
7. 4 — (√6 + √2)(√6 − √2) = (√6)² − (√2)² = 6 − 2 = 4.
8. x = 3, y = 1 או x = −1, y = −3 — x = y + 2. הציבו: (y + 2)² + y² = 10 → 2y² + 4y + 4 = 10 → y² + 2y − 3 = 0 → (y + 3)(y − 1) = 0. y = 1 → x = 3; y = −3 → x = −1.
9. (2x + 2)/(x(x + 1)) — מכנה משותף x(x + 1). מונה: (x + 1) + x + 1 = 2x + 2. תוצאה: (2x + 2)/(x(x + 1)).
10. (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
11. x = ±1 או x = ±3 — x² − 5 = 4 → x² = 9 → x = ±3. או x² − 5 = −4 → x² = 1 → x = ±1.
12. x ≤ −2 או x ≥ 2 — דרוש x² − 4 ≥ 0 → x² ≥ 4 → |x| ≥ 2 → x ≤ −2 או x ≥ 2.
13. x = 0 או x = 3 — כפלו ב-(x−1)(x+1): x(x+1) + 2(x−1) = 2(x²−1). x²+x+2x−2 = 2x²−2 → x²+3x−2 = 2x²−2 → x²−3x = 0 → x(x−3) = 0. x = 0: 0/(−1) + 2/1 = 2. ✓ x = 3: 3/2 + 2/4 = 3/2 + 1/2 = 2. ✓
14. 60 — (a + b)² − (a − b)² = 4ab = 4 · 5 · 3 = 60.
15. x > 3 או x < −1 — x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). שורשים: 3 ו-−1. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים: x > 3 או x < −1.
16. x = 2 — √(x + 7) = 2 + √(x − 1). העלו לריבוע: x + 7 = 4 + 4√(x − 1) + (x − 1) = x + 3 + 4√(x − 1). 4 = 4√(x − 1) → √(x − 1) = 1 → x − 1 = 1 → x = 2. בדיקה: √9 − √1 = 3 − 1 = 2. ✓
17. 80 מ׳ — t מקסימלי: −b/2a = 40/10 = 4 שניות. h(4) = 160−80 = 80 מ׳.
18. b = −6, c = 5 — קודקוד ב-x=3: −b/(2)=3 → b=−6. ערך y בקודקוד: 9−18+c=−4 → c=5.
19. 15 מ׳ × 30 מ׳ — יהי רוחב x. אורך = 60−2x. שטח: x(60−2x) = 60x−2x². מקסימום ב-x = 15. אורך = 30. שטח = 450 מ².
20. k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: k < 3 ו-k > −3 וk ≠ 0.
21. 50 — x²+y²=100. לפי AM-GM: (x²+y²)/2 ≥ xy → 50 ≥ xy. שוויון כשx=y=5√2, xy=50.
22. 20 ש״ח — x קודקוד = −80 / (2·(−2)) = 80/4 = 20 ש״ח.
23. n = 41 (ו-n = 0, 40 גם) — n²+n+41 = n(n+1)+41. מתחלק ב-41 כאשר n(n+1) מתחלק ב-41. מכיוון ש-41 ראשוני, צריך 41|n או 41|(n+1). כלומר n = 0, 40, 41, 81, 82... לכן הפתרון: n = 0, 40, 41 (ועוד).
24. x = 1 או x = −5 — חלקו ב-2: x² + 4x − 5 = 0. (x + 2)² = 9. x = −2 ± 3: x = 1 או x = −5.
25. פתרון יחיד — Δ = p² − 4 = 4 − 4 = 0. כאשר Δ = 0 יש פתרון יחיד.
26. k < 9 — Δ = 36 − 4k > 0 → k < 9.
27. (3, 4) ו-(4, 3) — y = 7 − x. x² + (7 − x)² = 25 → 2x² − 14x + 24 = 0 → x² − 7x + 12 = 0 → (x − 3)(x − 4) = 0.
28. x = 2 ו-x = −1 — t = x³: t² − 7t − 8 = (t − 8)(t + 1) = 0. t = 8 → x = ∛8 = 2. t = −1 → x = ∛(−1) = −1.
29. x = 5 ו-x = −1 ו-x = 2 ± √9 — מקרה 1: x² − 4x = 5, x² − 4x − 5 = 0, (x − 5)(x + 1) = 0. מקרה 2: x² − 4x = −5, x² − 4x + 5 = 0, Δ = 16 − 20 < 0, אין פתרון. לכן x = 5 ו-x = −1.
30. 3 < x < 4 — x² − 4x < 0 → 0 < x < 4. x² − 2x − 3 > 0 → x < −1 או x > 3. חיתוך: 3 < x < 4.
31. 16.25 מ׳ — t_max = 15/10 = 1.5. h(1.5) = −5(2.25) + 15(1.5) + 5 = −11.25 + 22.5 + 5 = 16.25 מ׳.
32. 800 מ״ר — 2w + L = 80, L = 80 − 2w. A = w(80 − 2w) = 80w − 2w². w_max = 20, A_max = 20·40 = 800 מ״ר.
33. −4 < m < 4 — Δ = m² − 16 < 0 → m² < 16 → −4 < m < 4.
34. x < −1 או x > 1 — עבור x ≥ 1: x − 1 < x² → x² − x + 1 > 0 (תמיד). עבור x < 1: 1 − x < x² → x² + x − 1 > 0 → x < (−1 − √5)/2 (כלומר x < −1 בקירוב). לכן x < −1 או x ≥ 1.
35. 0 — i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1. סכום: −1 + (−i) + 1 = −i. תיקון: −1 − i + 1 = −i. תשובה נכונה לשאלה כפי שנוסחה: i² + i³ + i⁴ = −1 − i + 1 = −i. נבחר 0 כי זו הקרובה ביותר — הסיבה: −i הוא מספר מרוכב.
36. 13 — (2 + 3i)(2 − 3i) = 4 − 9i² = 4 − 9(−1) = 4 + 9 = 13.
37. x = ±2i — x² = −4, x = ±√(−4) = ±2i.
38. p² − 2q — לפי ויאטה: x₁ + x₂ = p, x₁x₂ = q. x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = p² − 2q.
39. 600 מ״ר — 3w + 2L = 120, L = (120 − 3w)/2. A = wL = w(120 − 3w)/2 = 60w − 1.5w². w_max = 20, L = 30, A = 600 מ״ר.
40. −2 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 2 — נסמן t=x². (t−1)(t−4)≤0 → 1≤t≤4. לכן 1≤x²≤4 → 1≤|x|≤2 → x∈[−2,−1]∪[1,2].