דלג לתוכן הראשי
🇬🇧חדש: EnglishHero — תרגול אנגלית חינם לכיתות א׳-ו׳ ←
MathQuest
⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה ט׳ · רמה קשה · 20 שאלות

אלגברה — כיתה ט׳ (קשה)

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 20
  1. פתרו: x⁴ − 5x² + 4 = 0 (הצבה t = x²)
    (א)x = ±1 או x = ±2✓
    (ב)x = ±4 או x = ±1
    (ג)x = ±2
    (ד)x = ±1
  2. פרקו לגורמים לחלוטין: 2x³ − 8x
    (א)2x(x − 2)(x + 2)✓
    (ב)2x(x² − 4)
    (ג)2(x³ − 4x)
    (ד)x(2x − 4)(x + 2)
  3. פתרו: (x + 1)/(x − 1) = 3/(x − 1) + 2 עבור x ≠ 1
    (א)x = 0✓
    (ב)x = 1
    (ג)x = 2
    (ד)אין פתרון
  4. מצאו כמה ערכי שלמים x מקיימים: x² − 6x + 5 < 0
    (א)3 ערכים (x = 2, 3, 4)✓
    (ב)4 ערכים
    (ג)2 ערכים
    (ד)5 ערכים
  5. פתרו: √(x + 3) = x − 3
    (א)x = 6✓
    (ב)x = 1
    (ג)x = 1 או x = 6
    (ד)x = 3
  6. מצאו את ערכי m עבורם למשוואה mx² − 6x + m = 0 יש שני פתרונות ממשיים שונים
    (א)−3 < m < 3 ו-m ≠ 0✓
    (ב)m > 3
    (ג)m < −3 או m > 3
    (ד)כל m ≠ 0
  7. פשטו: (√6 + √2)(√6 − √2)
    (א)4✓
    (ב)8
    (ג)√8
    (ד)√4
  8. פתרו את מערכת: x² + y² = 10 ו-x − y = 2
    (א)x = 3, y = 1 או x = −1, y = −3✓
    (ב)x = 3, y = 1
    (ג)x = 2, y = 0
    (ד)x = −1, y = −3 בלבד
  9. חברו: 1/x + 1/(x + 1) + 1/(x(x + 1)) עבור x ≠ 0, −1
    (א)(2x + 2)/(x(x + 1))✓
    (ב)(2x + 1)/(x(x + 1))
    (ג)3/(x(x + 1))
    (ד)2/x
  10. פרקו לגורמים לחלוטין: x⁴ − 16
    (א)(x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4)✓
    (ב)(x − 2)²(x + 2)²
    (ג)(x² − 4)²
    (ד)(x − 4)(x + 4)
  11. פתרו: |x² − 5| = 4
    (א)x = ±1 או x = ±3✓
    (ב)x = ±3
    (ג)x = ±1
    (ד)x = ±2 או x = ±3
  12. מצאו את תחום ההגדרה של f(x) = √(x² − 4)
    (א)x ≤ −2 או x ≥ 2✓
    (ב)−2 ≤ x ≤ 2
    (ג)x ≥ 2
    (ד)כל x
  13. פתרו: x/(x − 1) + 2/(x + 1) = 2 עבור x ≠ ±1
    (א)x = 0 או x = 3✓
    (ב)x = 2 או x = −1
    (ג)x = 0
    (ד)x = 3
  14. הראו ש-(a + b)² − (a − b)² = 4ab. מהו הערך ל-a = 5, b = 3?
    (א)60✓
    (ב)4
    (ג)16
    (ד)30
  15. מצאו את ערכי x עבורם x² − 2x − 3 > 0
    (א)x > 3 או x < −1✓
    (ב)−1 < x < 3
    (ג)x > 3
    (ד)x < −1
  16. פתרו: √(x + 7) − √(x − 1) = 2
    (א)x = 2✓
    (ב)x = 1
    (ג)x = 9
    (ד)x = 3
  17. כדור נורה בזווית ישרה לגובה. גובהו h(t) = 40t − 5t². מה הגובה המקסימלי?
    (א)80 מ׳✓
    (ב)40 מ׳
    (ג)160 מ׳
    (ד)20 מ׳
  18. בגרף y = x² + bx + c, קודקוד ב-(3, −4). מה ערכי b ו-c?
    (א)b = −6, c = 5✓
    (ב)b = 6, c = 5
    (ג)b = −3, c = −4
    (ד)b = −6, c = −4
  19. גן ילדים מלבני שמחוסה גדר מ-3 צדדים בלבד (צד 4 הוא קיר). אורך החומר 60 מ׳. מה המידות שנותנות שטח מקסימלי?
    (א)15 מ׳ × 30 מ׳✓
    (ב)20 מ׳ × 20 מ׳
    (ג)10 מ׳ × 40 מ׳
    (ד)12 מ׳ × 36 מ׳
  20. עבור אילו ערכי k המשוואה kx² + 6x + k = 0 תהיה לה שני פתרונות ממשיים שונים?
    (א)k < 3 וגם k ≠ 0✓
    (ב)k > 3
    (ג)k < 0
    (ד)k = 3
MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

  1. x = ±1 או x = ±2 — t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → (t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 או t = 4. x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2.
  2. 2x(x − 2)(x + 2) — 2x³ − 8x = 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2).
  3. x = 0 — כפלו ב־(x − 1): x + 1 = 3 + 2(x − 1) = 2x + 1. → x = 0. בדיקה: x = 0 מותר. (0+1)/(0−1) = −1. 3/(0−1) + 2 = −1. ✓
  4. 3 ערכים (x = 2, 3, 4) — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). פתרון: 1 < x < 5. הערכים השלמים: 2, 3, 4 — סך הכול 3 ערכים.
  5. x = 6 — העלו לריבוע: x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9 → x² − 7x + 6 = 0 → (x − 1)(x − 6) = 0. x = 1: √4 = 2, 1 − 3 = −2 — לא מתאים (שורש שלילי). x = 6: √9 = 3, 6 − 3 = 3. ✓
  6. −3 < m < 3 ו-m ≠ 0 — לשני פתרונות: Δ > 0. Δ = 36 − 4m² > 0 → m² < 9 → −3 < m < 3. גם m ≠ 0 (כדי שתהיה משוואה ריבועית).
  7. 4 — (√6 + √2)(√6 − √2) = (√6)² − (√2)² = 6 − 2 = 4.
  8. x = 3, y = 1 או x = −1, y = −3 — x = y + 2. הציבו: (y + 2)² + y² = 10 → 2y² + 4y + 4 = 10 → y² + 2y − 3 = 0 → (y + 3)(y − 1) = 0. y = 1 → x = 3; y = −3 → x = −1.
  9. (2x + 2)/(x(x + 1)) — מכנה משותף x(x + 1). מונה: (x + 1) + x + 1 = 2x + 2. תוצאה: (2x + 2)/(x(x + 1)).
  10. (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
  11. x = ±1 או x = ±3 — x² − 5 = 4 → x² = 9 → x = ±3. או x² − 5 = −4 → x² = 1 → x = ±1.
  12. x ≤ −2 או x ≥ 2 — דרוש x² − 4 ≥ 0 → x² ≥ 4 → |x| ≥ 2 → x ≤ −2 או x ≥ 2.
  13. x = 0 או x = 3 — כפלו ב-(x−1)(x+1): x(x+1) + 2(x−1) = 2(x²−1). x²+x+2x−2 = 2x²−2 → x²+3x−2 = 2x²−2 → x²−3x = 0 → x(x−3) = 0. x = 0: 0/(−1) + 2/1 = 2. ✓ x = 3: 3/2 + 2/4 = 3/2 + 1/2 = 2. ✓
  14. 60 — (a + b)² − (a − b)² = 4ab = 4 · 5 · 3 = 60.
  15. x > 3 או x < −1 — x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1). שורשים: 3 ו-−1. הפרבולה חיובית מחוץ לשורשים: x > 3 או x < −1.
  16. x = 2 — √(x + 7) = 2 + √(x − 1). העלו לריבוע: x + 7 = 4 + 4√(x − 1) + (x − 1) = x + 3 + 4√(x − 1). 4 = 4√(x − 1) → √(x − 1) = 1 → x − 1 = 1 → x = 2. בדיקה: √9 − √1 = 3 − 1 = 2. ✓
  17. 80 מ׳ — t מקסימלי: −b/2a = 40/10 = 4 שניות. h(4) = 160−80 = 80 מ׳.
  18. b = −6, c = 5 — קודקוד ב-x=3: −b/(2)=3 → b=−6. ערך y בקודקוד: 9−18+c=−4 → c=5.
  19. 15 מ׳ × 30 מ׳ — יהי רוחב x. אורך = 60−2x. שטח: x(60−2x) = 60x−2x². מקסימום ב-x = 15. אורך = 30. שטח = 450 מ².
  20. k < 3 וגם k ≠ 0 — Δ = 36 − 4k² > 0 → k² < 9 → −3 < k < 3. וגם k ≠ 0 (כדי שתהיה ריבועית). לכן: k < 3 ו-k > −3 וk ≠ 0.