אלגברה — כיתה ט׳ (קשה)

פתרונות

1. x = ±1 או x = ±2 — t = x²: t² − 5t + 4 = 0 → (t − 1)(t − 4) = 0 → t = 1 או t = 4. x² = 1 → x = ±1; x² = 4 → x = ±2.
2. 2x(x − 2)(x + 2) — 2x³ − 8x = 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2).
3. x = 0 — כפלו ב־(x − 1): x + 1 = 3 + 2(x − 1) = 2x + 1. → x = 0. בדיקה: x = 0 מותר. (0+1)/(0−1) = −1. 3/(0−1) + 2 = −1. ✓
4. 3 ערכים (x = 2, 3, 4) — x² − 6x + 5 = (x − 1)(x − 5). פתרון: 1 < x < 5. הערכים השלמים: 2, 3, 4 — סך הכול 3 ערכים.
5. x = 6 — העלו לריבוע: x + 3 = (x − 3)² = x² − 6x + 9 → x² − 7x + 6 = 0 → (x − 1)(x − 6) = 0. x = 1: √4 = 2, 1 − 3 = −2 — לא מתאים (שורש שלילי). x = 6: √9 = 3, 6 − 3 = 3. ✓
6. −3 < m < 3 ו-m ≠ 0 — לשני פתרונות: Δ > 0. Δ = 36 − 4m² > 0 → m² < 9 → −3 < m < 3. גם m ≠ 0 (כדי שתהיה משוואה ריבועית).
7. 4 — (√6 + √2)(√6 − √2) = (√6)² − (√2)² = 6 − 2 = 4.
8. x = 3, y = 1 או x = −1, y = −3 — x = y + 2. הציבו: (y + 2)² + y² = 10 → 2y² + 4y + 4 = 10 → y² + 2y − 3 = 0 → (y + 3)(y − 1) = 0. y = 1 → x = 3; y = −3 → x = −1.
9. (2x + 2)/(x(x + 1)) — מכנה משותף x(x + 1). מונה: (x + 1) + x + 1 = 2x + 2. תוצאה: (2x + 2)/(x(x + 1)).
10. (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4) — x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).