אלגברה — כיתה ט׳ (קל)

פתרונות

1. x = 3 או x = −3 — x² = 9, לכן x = ±3.
2. (x − 4)(x + 4) — x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4) — נוסחת ההפרש בין ריבועים.
3. 49 — (2 + 5)² = 7² = 49.
4. 6 — √36 = 6 כיוון ש־6² = 36.
5. x = 5 או x = −5 — x² = 25 → x = ±5.
6. x² + 6x + 9 — (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9.
7. (x + 5)² — x² + 10x + 25 = x² + 2·5·x + 5² = (x + 5)².
8. 2x — √(4x²) = √4 · √(x²) = 2x (כיוון ש־x > 0).
9. 7 — ערך מוחלט של מספר שלילי הוא החיובי שלו: |−7| = 7.
10. x = 5 או x = −5 — |x| = 5 פירושו x = 5 או x = −5.
11. (x − 3)² — x² − 6x + 9 = x² − 2·3·x + 3² = (x − 3)².
12. 5√2 — √50 = √(25 · 2) = √25 · √2 = 5√2.
13. 0 — Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 16 − 16 = 0.
14. x² − 8x + 16 — (x − 4)² = x² − 2·4·x + 4² = x² − 8x + 16.
15. x + 2 — (x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2.
16. x = 0 או x = 5 — x(x − 5) = 0, לכן x = 0 או x − 5 = 0, כלומר x = 5.
17. 2√3 — √12 = √(4 · 3) = √4 · √3 = 2√3.
18. x = 3 — |x − 3| = 0 רק כאשר x − 3 = 0, כלומר x = 3.
19. (x − 5)(x + 5) — x² − 25 = x² − 5² = (x − 5)(x + 5).
20. x = 0 או x = −4 — x(x + 4) = 0, לכן x = 0 או x = −4.
21. 8√2 — 3√2 + 5√2 = (3 + 5)√2 = 8√2.
22. x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) — נוסחת השורשים הידועה: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
23. x = 2 — (x − 2)² = 0 רק כאשר x − 2 = 0, לכן x = 2 (שורש כפול).
24. x(x + 7) — x² + 7x = x · x + x · 7 = x(x + 7).
25. 5 — 3x = 21 − 6 = 15. x = 15/3 = 5.
26. 169 — 13² = 13 · 13 = 169.
27. 12 — 12² = 144, לכן √144 = 12.
28. x = ±7 — x² = 49 → x = √49 = 7 או x = −7, כלומר x = ±7.
29. 5 — y = 3² − 4 = 9 − 4 = 5.
30. 17 — 2³ = 8, 3² = 9. סכום: 8 + 9 = 17.
31. x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a) — הנוסחה הריבועית הידועה: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a).
32. x² + 10x + 25 — לפי כפל מקוצר: (a + b)² = a² + 2ab + b². כאן a = x, b = 5, ולכן x² + 10x + 25.
33. x² − 8x + 16 — (a − b)² = a² − 2ab + b². כאן 2 · x · 4 = 8x ו־b² = 16.
34. x² − 9 — הפרש ריבועים: (a + b)(a − b) = a² − b². כאן a = x, b = 3.
35. 4x² + 4x + 1 — (2x)² + 2 · 2x · 1 + 1² = 4x² + 4x + 1.
36. (x − 3)(x + 3) — x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3).
37. (x + 3)² — x² + 6x + 9 = x² + 2·x·3 + 3² = (x + 3)².
38. (x − 2)(x − 3) — מחפשים שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם −5: כלומר −2 ו-−3.
39. (x + 3)(x + 4) — 3 · 4 = 12 ו-3 + 4 = 7, לכן (x + 3)(x + 4).
40. x = 5 או x = −5 — x² = 25 גורר x = ±√25 = ±5.