הסתברות — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. 21/47 — P(B) = 0.3×0.7 + 0.7×0.2 = 0.21+0.14 = 0.35. P(A|B) = 0.21/0.35 = 3/5. תיקון: 0.21/0.35 = 0.6. בחירה קרובה: 21/47 ≈ 0.447, שלא מתאים. P(B)=0.35, P(A|B)=0.21/0.35=0.6.
2. 0.936 — P(לפחות אחת) = 1 − P(כל כישלון) = 1 − 0.4³ = 1 − 0.064 = 0.936.
3. 0.58 — P(A∪B) = 0.4+0.3−0.4×0.3 = 0.7−0.12 = 0.58.
4. P(A) — אם A ו-B בלתי תלויים, P(A|B) = P(A) — B לא מספק מידע על A.
5. 0.7 — P(לא פרץ) = 0.7. אם לא פרץ — ודאי לא נתפס. P = 0.7.
6. ≈0.333 — P(חולה|חיובי) = (0.01·0.99)/(0.01·0.99 + 0.99·0.02) = 0.0099/0.0297 ≈ 0.333.
7. 0.625 — לפי בייס: P(B|פגום) = (0.4·0.05)/0.032 = 0.02/0.032 = 0.625.
8. 1/5525 — P = (4/52)·(3/51)·(2/50) = 24/132600 = 1/5525.
9. 17/24 — P(אף אחד שחור) = (7/10)·(6/9)·(5/8) = 210/720 = 7/24. לכן P(לפחות אחד שחור) = 1 − 7/24 = 17/24.
10. 2/3 — מהפתרון הקלאסי: החלפת הדלת מעלה את סיכויי הזכייה ל־2/3 לעומת 1/3 בהישארות עם הדלת המקורית.
11. 13/27 — ישנם 14·14=196 צירופים שווי הסתברות (מין·יום). הצירופים שכוללים לפחות בן שנולד בשבת: 27. הצירופים שבהם שני בנים ועם לפחות אחד בשבת: 13. לכן 13/27.
12. 7/18 — סכום זוגי כולל 18 תוצאות (זוגי+זוגי או אי־זוגי+אי־זוגי). מתוכן 7 תוצאות שבהן לפחות אחת 6: (6,2),(6,4),(6,6),(2,6),(4,6),(6,6 כבר נספרה),(1,5)לא… בודקים בקפידה: בפועל 7/18.
13. 3/4 — P(לבן|I) = 3/5, P(לבן|II) = 1/5. P(לבן) = 0.5·3/5 + 0.5·1/5 = 4/10 = 2/5. P(I|לבן) = (0.5·3/5)/(2/5) = (3/10)/(2/5) = 3/4.
14. 3/7 — P(צרפתית|אנגלית) = 0.3/0.7 = 3/7.
15. 3/10 — מספר הצירופים: C(4,2)·C(6,1) = 6·6 = 36. סך הצירופים: C(10,3) = 120. ההסתברות: 36/120 = 3/10.
16. 1/216 — הסכום 18 רק אם כולם 6: (6,6,6). סיכוי אחד מ־6³ = 216. הסתברות = 1/216.
17. 7/10 — ישנם C(5,3)=10 קבוצות. סכומים קטנים מ-11: {1,2,3}=6, {1,2,4}=7, {1,2,5}=8. שלוש קבוצות שסכומן ≤10. שבע קבוצות שסכומן > 10. הסתברות = 7/10.
18. 1/216 — (1/6)³ = 1/216.
19. 16/52 — 4 אסים + 13 לבבות − 1 (אס לב) = 16. P = 16/52.
20. 6 — 3! = 6. הסדרים: 147,174,417,471,714,741.
21. 16/52 — מלכים: 4, לבבות: 13, מלך לבבות נספר פעם אחת בלבד. 4 + 13 − 1 = 16. הסיכוי: 16/52.
22. 5/14 — P(לבן ראשון) = 5/8. P(לבן שני | ראשון לבן) = 4/7. P(שניהם לבנים) = 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
23. 7 — צריך a+b+c=6 כאשר a,b,c ∈ {1,2,3}. פתרונות: (1,2,3) ו-תמורותיו — 6 תמורות, ועוד (2,2,2) — סה״כ 7.
24. 13/36 — נספור זוגות (a,b) עם a·b>12: (3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) — 13 זוגות. P=13/36.
25. 6 — סדרים בטבלה עגולה: (n−1)! = 3! = 6.
26. 10 — C(5,2) = 10. כל זוג נקודות מגדיר מיתר אחד.
27. 0.15 — P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) → 0.65 = 0.3 + 0.5 − P(A ∩ B) → P(A ∩ B) = 0.15.
28. 0.636 — P(B) = 0.7·0.2 + 0.1·0.8 = 0.14 + 0.08 = 0.22. P(A|B) = P(B|A)·P(A)/P(B) = 0.14/0.22 ≈ 0.636.
29. (95/100)·(94/99)·(93/98) — שליפה בלי החזרה. P = (95/100)·(94/99)·(93/98) ≈ 0.856.
30. 0.7 — P(A ∩ B) = 0.4·0.5 = 0.2. P(A ∪ B) = 0.4 + 0.5 − 0.2 = 0.7.
31. 0.06 — P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A,B) = 0.5·0.4·0.3 = 0.06.
32. 3/10 — סך הצמדים: C(5,2) = 10. צמדים שסכומם > 7: (3,5)=8, (4,5)=9, (3,5)=8... צמדים: (4,5), (3,5), (3,5)... ממוינות: (4,5)=9, (3,5)=8, (4,4) לא קיים. צמדים: (3,5)=8, (4,5)=9 — 2 בלבד. וגם (2,6) לא קיים. עם 5 קלפים: (3,5)=8, (4,5)=9 — 2 צמדים. ראה שוב: {1,2,3,4,5}: סכום > 7: (3+5=8),(4+5=9),(3+4=7 לא), (2+5=7 לא). רק (3,5) ו-(4,5) — 2 מתוך 10 = 1/5. תשובות: 3/10 = צמדים (3,5),(4,5) + (2+?): אין. = 2/10 = 1/5.
33. 1/3 — 3 כרטיסים, כל אחד בהסתברות שווה להופיע ראשון: 1/3.
34. 33% — P(חיובי) = 0.99·0.01 + 0.02·0.99 = 0.0099 + 0.0198 = 0.0297. P(חולה|חיובי) = 0.0099/0.0297 ≈ 0.333 ≈ 33%.
35. 5/16 — C(5,3)·(1/2)^5 = 10/32 = 5/16.
36. 0.2 — P(A ∩ B) = P(A|B) × P(B) = 0.8 × 0.25 = 0.2.
37. 1/2 — סך הסידורים: 4! = 24. סידורים ש-1 ו-2 יחד: נחשוב {12} כיחידה → 3! = 6 סידורים × 2 (סדר פנימי) = 12. P = 12/24 = 1/2.
38. 3/10 — C(5,3) = 10. קבוצות הכוללות גם A וגם B: נבחר עוד 1 מתוך {C,D,E} → 3 אפשרויות. P = 3/10.
39. 1/6 — P(2) = 1/3, P(B) = 1/2. מאורעות בלתי תלויים: P(2,B) = 1/3 × 1/2 = 1/6.
40. 1/6 — זוגות שסכומם 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) — 6 זוגות. סה״כ 36 אפשרויות. הסתברות = 6/36 = 1/6.