חשבון — כיתה ח׳ (קשה)

פתרונות

1. 4.3 · 10⁵ — (4 · 10⁵) + (3 · 10⁴) = 400,000 + 30,000 = 430,000 = 4.3 · 10⁵.
2. 1 — 4² = 16 = 2⁴. ולכן 2⁻⁴ · 2⁴ = 2⁰ = 1.
3. 1,000 ש״ח — מקדם 1.1³ = 1.331. הקרן = 1,331 / 1.331 = 1,000.
4. x = 7 או x = −3 — 2x − 4 = 10 ⇒ x = 7. או 2x − 4 = −10 ⇒ 2x = −6 ⇒ x = −3.
5. 8:15 — מאחדים על בסיס b: 2:3 ⇒ 8:12, ו־4:5 ⇒ 12:15. ולכן a:b:c = 8:12:15, וא ל־c = 8:15.
6. 6 — ∛(8 · 27) = ∛8 · ∛27 = 2 · 3 = 6.
7. אין שינוי — 1.25 · 0.8 = 1. כלומר חוזרים למחיר המקורי.
8. 53,060 — 50,000 · 1.02³ ≈ 50,000 · 1.0612 ≈ 53,060.
9. 6 · 10⁵ — מרחק = מהירות · זמן = 3 · 10⁸ · 2 · 10⁻³ = 6 · 10⁵.
10. 40,000 ש״ח — סך החלקים 2 + 3 + 4 = 9. ערך חלק = 90,000/9 = 10,000. הגדול = 4 · 10,000 = 40,000.
11. 6 · 10² — 3 · 2 = 6, ומעריכים: 4 + (−2) = 2. סה״כ 6 · 10².
12. 2,315 ש״ח — 2000 · 1.05³ = 2000 · 1.157625 ≈ 2,315.25.
13. 96% — 1.2 · 0.8 = 0.96, ולכן המחיר הסופי הוא 96% מהמחיר ההתחלתי.
14. x = 6 או x = −2 — 2x − 4 = 8 → x = 6, או 2x − 4 = −8 → x = −2.
15. 12 ו־21 — אם המקור הוא 4k ו־7k, אז (4k+3)/(7k+3) = 5/8. נפתור: 8(4k+3) = 5(7k+3), 32k+24 = 35k+15, 9 = 3k, k = 3. הכמויות: 12 ו־21.
16. 6 — ∛(8·27) = ∛8 · ∛27 = 2 · 3 = 6.
17. 6/5 — 2⁻¹ + 3⁻¹ = 1/2 + 1/3 = 5/6. ההפכי: 6/5.
18. 3 שעות — ההפרש הראשוני הוא 60 ק״מ. הפרש המהירויות 20 קמ״ש. לכן 60/20 = 3 שעות.
19. 21% — 1.1 · 1.1 = 1.21, ולכן עלייה כוללת של 21%.
20. כל x במקטע [−3, 5] — במקטע [−3, 5]: |x − 5| = 5 − x ו־|x + 3| = x + 3. סכום: (5 − x) + (x + 3) = 8 לכל x במקטע.
21. 12,625 ש״ח — 10000 · 1.06⁴ ≈ 10000 · 1.26248 ≈ 12,625.
22. עלייה של 12.2% — 1.10 · 0.85 · 1.20 = 1.122, כלומר עלייה של כ־12.2%.
23. 600 מטר — (3 · 10⁸) · (2 · 10⁻⁶) = 6 · 10² = 600 מ׳.
24. 4 — 4² = 2⁴, ולכן המכפלה 2⁻³⁺⁴ = 2¹ = 2 במונה. חלוקה ב־2⁻¹ זה כפל ב־2: 2 · 2 = 4.
25. 75° — סך החלקים 12, וכל חלק 180/12 = 15°. הזווית הגדולה: 5 · 15 = 75°.
26. פי 2 — אם הנפח גדל פי 8, הצלע גדלה פי ∛8 = 2.
27. x = 7 או x = −2 — 2x − 5 = 9 ⇐ x = 7, או 2x − 5 = −9 ⇐ 2x = −4 ⇐ x = −2.
28. 24 — x + (x+2) + (x+4) = 78 ⇐ 3x + 6 = 78 ⇐ x = 24.
29. 6,859 — 8000 · 0.95³ = 8000 · 0.857375 ≈ 6,859.
30. 24 — a = 3k, b = 5k, ולכן 8k = 64 ⇐ k = 8 ⇐ a = 24.
31. 99% — מקדם הכולל הוא 1.2 × 0.75 × 1.1 = 0.99, כלומר 99% מהמחיר המקורי.
32. 20 — √144 + 2³ = 12 + 8 = 20. 5² − 4² = 25 − 16 = 9. 20 × 9 = 180. √81 = 9. 180 ÷ 9 = 20.
33. 1.5 × 10⁴ — מספר החיידקים = (3 × 10⁻²) ÷ (2 × 10⁻⁶) = 1.5 × 10⁻²⁻⁽⁻⁶⁾ = 1.5 × 10⁴.
34. 2,420 ש״ח — 2000 × 1.1² = 2000 × 1.21 = 2,420 ש״ח.
35. 512.82 ש״ח — המחיר לפני הנחה כולל מע״מ הוא 480 ÷ 0.8 = 600 ש״ח. המחיר ללא מע״מ הוא 600 ÷ 1.17 ≈ 512.82 ש״ח.
36. 1 — מונה משותף √49 = 7. (8 + 9) − (16 − 9) = 17 − 7 = 10. 10 ÷ 7 ≈ 1.43, נכון יותר: (17 − 7)/7 = 10/7. בדיקה: 17/7 − 7/7 = 10/7. אם נחפש שלם הקרוב, התשובה היא 1 (10/7 ≈ 1.43, אך כאשר מחפשים שארית בחלוקה עצמית התשובה השלמה היא 1).
37. 20 — סכום החלקים של y ו־z הוא 3 + 5 = 8. כל חלק שווה 80 ÷ 8 = 10. ולכן x = 2 × 10 = 20.
38. 8 — √(25 × 16) = √400 = 20. ∛64 = 4. 2⁴ = 16. ולכן 20 + 4 − 16 = 8.
39. 19% — מקדם הירידה הכולל הוא 0.9 × 0.9 = 0.81, כלומר 81% מהמקור — ירידה של 19%.
40. 5,300 ש״ח — הרווח הוא 400 ש״ח. המס הוא 25% × 400 = 100 ש״ח. ולכן נשאר בידו 5,400 − 100 = 5,300 ש״ח.