חזרה למבחן — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. C בלבד — A לא יכול לומר שהוא תמיד שקרן (פרדוקס), אז A שקרן. B אמר ש-A דובר אמת — שקר, אז B שקרן. C אמר ש-B שקרן — אמת! C דובר אמת.
2. רק תפוחים — כל התוויות שגויות. הקופסה עם 'תפוחים ותפוזים' אינה מכילה שניהם. שלפת תפוח — אז יש שם רק תפוחים (כי אם היה תפוז, הקופסה היתה מכילה שניהם, וזה לא יתכן כי התווית שגויה).
3. גיל — אם אלי אומר אמת — בועז שקרן (כי בועז אמר שאלי שקרן). אז גיל שאמר שבועז אומר אמת — טועה. סתירה. אם אלי שקרן — בועז צודק. גיל אמר שבועז אומר אמת — גיל גם צודק. אז גיל ובועז אומרים אמת — סתירה (רק אחד). אם בועז לסירוגין — אז גיל יכול לאמת. בניתוח מלא: גיל הוא האמת המוחלטת.
4. 51 — במעגל של 100 אנשים, ממול לאיש מספר k עומד k + 50 (אם k ≤ 50) או k − 50 (אם k > 50). ממול ל-1: 1 + 50 = 51.
5. X — אם X דובר אמת — Y משקר. אז Y (משקר) אומר 'Z אומר אמת' — כלומר Z משקר. אבל אז מי לפעמים? סתירה — X לא יכול להיות דובר אמת. אם X משקר — Y לא משקר. אם X לפעמים — Z אומר 'X לפעמים' ואמרה זו נכונה, ולכן Z דובר אמת. Y אומר 'Z אמת' — נכון, Y דובר אמת. אבל יש שני דוברי אמת — סתירה. הפתרון: X לפעמים, Y משקר, Z דובר אמת.
6. שלישי — B < C ו E < D ו B < A < D. A לא בקצה. סדר אפשרי: E, B, A, D, C (A = מיקום 3). A שלישי.
7. לא, זוהי סתירה תמיד — P AND (NOT P) תמיד שקרי בלי קשר לערך P: אם P = א, NOT P = ש, א AND ש = ש. אם P = ש, NOT P = א, ש AND א = ש.
8. לא, הוא תמיד אמיתי (טאוטולוגיה) — P OR (NOT P) הוא חוק ה'שלישי הנשלל': תמיד אמיתי. אם P = א, האמיתי, ואם P = ש, NOT P = א.
9. P AND (NOT Q) — NOT(P → Q) = NOT(NOT P OR Q) = P AND (NOT Q), לפי חוק דה-מורגן.
10. 10 — שתו לפחות אחד: 60 + 50 − 20 = 90. לא שתו: 100 − 90 = 10.
11. אמיתי — (P OR Q) = אמיתי OR שקרי = אמיתי. NOT Q = אמיתי. (NOT Q OR R) = אמיתי OR אמיתי = אמיתי. אמיתי AND אמיתי = אמיתי.
12. E בלבד — E > A > C > D ו E > A > B. E ניצח את A שניצח את כולם שידוע. E הוא היחיד שאף אחד לא ניצח אותו.
13. שי — נבדוק כל אפשרות: אם דן גנב — דן שקרן, רון אמר אמת, שי אמר אמת — שניים אמרו אמת, סתירה. אם רון גנב — דן אמת, רון שקרן, שי אמת — שניים אמרו אמת, סתירה. אם שי גנב — דן אמת (לא אני), רון שקרן (דן גנב), שי שקרן (לא אני) — דובר אמת אחד בלבד: דן. התנאי מתקיים. שי הוא הגנב.
14. 11:00 — ב־09:00 הראשונה כבר 80 ק״מ קדימה. הפרש המהירויות 40 קמ״ש. זמן הסגירה: 80 : 40 = 2 שעות. ב־09:00 + 2 = 11:00.
15. 30% — מלח: 30×0.2 + 20×0.45 = 6 + 9 = 15 ליטר מלח ב־50 ליטר. 15/50 = 30%.
16. ירידה של 4% — 1.2 × 0.8 = 0.96 — כלומר 96% מהמקורי, ירידה של 4%.
17. 2,420 ש״ח — אחרי שנה: 2,000 × 1.1 = 2,200. אחרי שנתיים: 2,200 × 1.1 = 2,420 ש״ח.
18. 6 שעות — 1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6 לשעה. הזמן: 6 שעות.
19. 70° — זוויות הבסיס שוות. 180 − 40 = 140, וחלוקה ל־2: 70°.
20. 79.03 — סכום הציונים המקורי 30 × 80 = 2,400. בתוספת 50: 2,450 : 31 ≈ 79.03.
21. x = 13 — פותחים: 3x − 6 − 2x − 2 = 5 → x − 8 = 5 → x = 13.
22. 1/6 — יש 6 צירופים שמסתכמים ל־7 מתוך 36 — 6/36 = 1/6.
23. 292.5 ש״ח — מע״מ: 250 × 0.17 = 42.5 ש״ח. סופי: 250 + 42.5 = 292.5 ש״ח.
24. 65° — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות.
25. 55° — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות.
26. 75° — 2x = 180 - 30 = 150, ולכן x = 75°.
27. 30° — x + 2x + 3x = 180, 6x = 180, ולכן x = 30°.
28. 40° — 3x = 180 - 60 = 120, ולכן x = 40°.
29. 70° — זוויות פנימיות מאותו צד של החוצה משלימות ל-180°: 180 - 110 = 70°.
30. 60° — x + x + 2x + 2x = 360, 6x = 360, x = 60°.
31. 20° — זוויות מתאימות שוות: 4x = 80, ולכן x = 20°.
32. 40° — (x+10) + (x+20) + (x+30) = 180, 3x + 60 = 180, 3x = 120, x = 40°.
33. 65° — x + x + 50 = 180, 2x = 130, x = 65°.
34. 50° — B = 2C = 40°. A משלימה ל-B, ולכן A = 90 - 40 = 50°.
35. 15° — B = 90 - A = 40°. 3C - 5 = 40, 3C = 45, C = 15°.
36. 30° ו-60° — הזוויות החדות משלימות. x + 2x = 90, x = 30. הזוויות הן 30° ו-60°.
37. 25° — Y = 90 - 25 = 65°. Z = 90 - 65 = 25°. כשמפעילים את אותו פעולה פעמיים מקבלים את הערך המקורי.
38. 25° — הקיר ניצב לקרקע, ולכן הזווית בין הסולם לקרקע ובין הסולם לקיר משלימות (משולש ישר זווית). 90 - 65 = 25°.
39. 41° — (4x + 5) + (5x + 4) = 90, 9x + 9 = 90, 9x = 81, x = 9. A = 4(9) + 5 = 41°.
40. 20° — הזווית הגדולה גדולה פי שלוש פלוס 10° מהקטנה. סמן x ו-3x + 10. x + (3x + 10) = 90, 4x = 80, x = 20°.