גיאומטריה — כיתה ז׳ (קשה)

פתרונות

1. 10 ו־15 ס״מ — סכום שתי צלעות סמוכות: 50:2 = 25. נחלק ביחס 2:3: כל חלק הוא 25:5 = 5. הצלעות הן 2·5 = 10 ו־3·5 = 15 ס״מ.
2. 12 ו־20 ס״מ — סכום שתי צלעות סמוכות: 64:2 = 32. נחלק ביחס 3:5: כל חלק הוא 32:8 = 4. הצלעות הן 12 ו־20 ס״מ.
3. 4 — סכום שתי צלעות סמוכות: 38:2 = 19. נציב: (2x+1)+(3x־2) = 19, כלומר 5x־1 = 19, ולכן 5x = 20, x = 4.
4. 11 ס״מ — היקף הריבוע: 4·8 = 32 ס״מ. חצי היקף המקבילית: 32:2 = 16. הצלע הסמוכה: 16־5 = 11 ס״מ.
5. 100 ס״מ — אורך הסרט הוא היקף המקבילית: 2·(28+22) = 2·50 = 100 ס״מ.
6. 18 ו־24 ס״מ — חצי היקף: 84:2 = 42. אם הקצרה x, אז x+(x+6) = 42, כלומר 2x = 36, x = 18. הצלעות 18 ו־24 ס״מ.
7. 8 ס״מ — סכום שתי צלעות סמוכות: 80:2 = 40. נחלק ביחס 1:4: כל חלק הוא 40:5 = 8. הצלע הקצרה היא 1·8 = 8 ס״מ.
8. 3 — סכום שתי צלעות סמוכות: 32:2 = 16. נציב: (3x־1)+(x+5) = 16, כלומר 4x+4 = 16, ולכן 4x = 12, x = 3.
9. 1000 שקל — היקף הגינה: 2·(12+8) = 40 מטר. עלות הגדר: 40·25 = 1000 שקל.
10. 8 ס״מ — היקף המשולש: 3·14 = 42 ס״מ. חצי היקף המקבילית: 42:2 = 21. הצלע הסמוכה: 21־13 = 8 ס״מ.
11. 71 מ״ר — שטח מלבן − שטח ריבוע = 80 − 9 = 71 מ״ר.
12. 85.97 סמ״ר — שטח ריבוע = 400. שטח עיגול = π·100 = 314. פינות = 400 − 314 = 86 ≈ 85.97 סמ״ר. (3.14·100=314, 400−314=86)
13. 9 × 9 מ׳ — עם היקף קבוע, השטח המקסימלי הוא של ריבוע: 36/4 = 9. שטח = 81 מ״ר.
14. 20 מ׳ — יתר = √(900+1600) = √2500 = 50 מ׳. מסלול שוקיים = 70 מ׳. חיסכון = 70 − 50 = 20 מ׳.
15. 54 — n(n−3)/2 = 12×9/2 = 54.
16. 28 — 8×7/2 = 28.
17. 170 — n(n−3)/2 = 20×17/2 = 170.
18. 225 מ² — צלע מקורית: 48÷4 = 12 מ. צלע חדשה: 12+3 = 15 מ. שטח: 15² = 225 מ².
19. 8 ס״מ — שטח ריבוע: 6² = 36 ס״מ². שטח משולש: (9 × h)/2 = 36. 9h = 72. h = 8 ס״מ.
20. 60 ס״מ³ — נפח = שטח בסיס × גובה = (5×3) × 4 = 15 × 4 = 60 ס״מ³.
21. 192 מ² — יהי רוחב x, אורך 3x. היקף: 2(x + 3x) = 64. 8x = 64. x = 8. שטח: 8 × 24 = 192 מ².
22. 35 — n(n−3)/2 = 10 × 7 / 2 = 35.
23. 10 ק״מ — המסלול הקצר ביותר הוא בקו ישר. √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 ק״מ.
24. 6 ס״מ — לפי משפט קו האמצע: קו האמצע של משולש (המחבר אמצעי שתי צלעות) שווה לחצי הבסיס. 12/2 = 6 ס״מ.
25. 20 מ' ו-10 מ' — רק 3 צלעות צריכות גדר: שתי רוחב ואחד אורך. x + 2y = 40. שטח = xy = y(40−2y). למקסימום: y = 10, x = 20. שטח מרבי = 200 מ'².
26. 32 — בריבוע 8×8 = 64 תאים. מחציתם (כמו בשחמט) = 32 תאים.
27. 48 מ״ר — שטח ריבוע: 4 × 4 = 16 מ״ר. 3 × 16 = 48 מ״ר.
28. 357 מ״ר — שטח מלבן = 20·14 = 280 מ״ר. שטח חצי-עיגול = (22/7)·7²÷2 = 77 מ״ר. סה״כ = 357 מ״ר.
29. 82.96 מ״ר — שטח ריבוע = 196 מ״ר. שטח גינה = 113.04 מ״ר. שטח שנותר = 196 − 113.04 = 82.96 מ״ר.
30. 318.47 — היקף = 2·3.14·50 = 314 ס״מ. סיבובים = 100000 ÷ 314 ≈ 318.47.
31. 64π סמ״ר — שטח טבעת = π·10² − π·6² = 100π − 36π = 64π סמ״ר.
32. 30.84 מ׳ — קשת חצי-עיגול = π·r = 3.14·6 = 18.84 מ׳. היקף כולל = 18.84 + 12 = 30.84 מ׳.
33. 20π מ״ר — שטח חדש = π·36 = 36π. שטח ישן = π·16 = 16π. הפרש = 20π מ״ר.
34. 50 מ׳ — היקף = 1570 ÷ 5 = 314 מ׳. r = 314 ÷ (2·3.14) = 50 מ׳.
35. 131.88 מ״ר — שטח חיצוני = π·12² = 452.16. שטח פנימי = π·10² = 314. דשא = 138.16 מ״ר.
36. 50 ס״מ — קשת = (1/4)·2·(22/7)·14 = 22 ס״מ. היקף = 22 + 14 + 14 = 50 ס״מ.
37. 75.36 מ׳ — היקף = 2·3.14·3 = 18.84 מ׳. 4 הקפות = 18.84·4 = 75.36 מ׳.
38. 378.5 מ״ר — מלבן = 30·10 = 300 מ״ר. שני חצאי-עיגולים = עיגול שלם = 3.14·25 = 78.5 מ״ר. סה״כ = 378.5 מ״ר.
39. 154 סמ״ר — r = 44 ÷ (2·22/7) = 44·7/44 = 7 ס״מ. שטח = (22/7)·49 = 154 סמ״ר.
40. 4 — שטח חדש = π(2r)² = 4πr². השטח גדל פי 4.