טריגונומטריה — תרגול מסכם לכיתה ט'

פתרונות

1. 4/5 — sin²(α) + cos²(α) = 1. sin²(α) = 1 − 9/25 = 16/25. sin(α) = 4/5.
2. 7 ס״מ — tan 45° = 1 = ניגדית / סמוכה. אם ניגדית = 7, אז סמוכה = 7.
3. 30° — cos(30°) = √3/2, לכן α = 30°.
4. 0.5 — sin(150°) = sin(180° − 30°) = sin(30°) = 0.5.
5. 3/4 — tan α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4.
6. 4/5 — sin = צלע נגדית / יתר. הצלע מול הזווית היא 4, היתר 5. sin = 4/5.
7. sin α · cos α = 0.22 — (sin α + cos α)² = sin²α + 2sin α cos α + cos²α = 1 + 2sin α cos α = 1.44. לכן 2sin α cos α = 0.44 → sin α cos α = 0.22.
8. sin²α + cos²α = 1 — sin²α + cos²α = 1 היא הזהות הפיתגוראית הבסיסית, הנובעת ישירות ממשפט פיתגורס.
9. 12/13 — sin²α = 1 − cos²α = 1 − 25/169 = 144/169, ולכן sin α = 12/13.
10. 4 ס״מ — cos 60° = סמוכה / יתר. 0.5 = סמוכה / 8. סמוכה = 4 ס״מ.
11. t = π/4 — sin(t) = cos(t) כאשר tan(t) = 1, כלומר t = π/4.
12. 5 ס״מ — sin 30° = ניגדית / יתר. 0.5 = ניגדית / 10. ניגדית = 5 ס״מ.
13. √3/2 — sin²30° + cos²30° = 1. (1/2)² + cos²30° = 1. cos²30° = 3/4. cos 30° = √3/2 ≈ 0.866.
14. 3/5 — אלכסון המלבן = √(4²+3²) = 5. sin(α) = ניצב נגדי / יתר = 3/5.
15. 60° — cos(α) = ניצב צמוד / יתר = 4/8 = 0.5, לכן α = 60°.
16. הצלע הניצבת הסמוכה ל־α חלקי היתר — cos α = צלע סמוכה / היתר. זוהי ההגדרה הבסיסית של פונקציית הקוסינוס.
17. 1.25 — tan(α) = גובה / צל = 5/4 = 1.25.
18. 45° — tan(45°) = 1, לכן α = 45°.
19. 44.6 מ׳ — גובה מעל עיניים = 30 × tan(55°) ≈ 42.85 מ׳. גובה כולל = 42.85 + 1.7 ≈ 44.55 ≈ 44.6 מ׳.
20. 0.75 — tan = sin/cos = 0.6/0.8 = 0.75.
21. 45° — tan(α) = 6/6 = 1, לכן α = 45°.
22. √2/2 — אלכסון הריבוע = √2, הזווית בין האלכסון לצלע = 45°. sin(45°) = √2/2.
23. 4/3 — tan α = sin α / cos α = 0.8 / 0.6 = 4/3.
24. 30° — sin(30°) = 0.5, לכן α = 30°.
25. d/√2 — בריבוע עם צלע a, האלכסון d = a√2, לכן a = d/√2.