תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $30^\circ$ — $\sin A=\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=30^\circ$.
2. $1$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ עבור כל זווית, ובפרט $30^\circ$.
3. $\frac{8}{15}$ — $\tan A = \frac{8}{15}$.
4. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(8/17\right)^2}=\frac{15}{17}$ (חיובי כי $x$ חדה).
5. $10$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=20\times\frac{1}{2}=10$.
6. $\frac{8}{17}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(15/17\right)^2}=\frac{8}{17}$.
7. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{11}{11}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
8. $\frac{7}{25}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(24/25\right)^2}=\frac{7}{25}$.
9. $5$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$.
10. $60^\circ$ — $\cos A=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=60^\circ$.
11. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(12/20\right)^2}=\frac{4}{5}$ (חיובי כי $x$ חדה).
12. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(9/15\right)^2}=\frac{4}{5}$ (חיובי כי $x$ חדה).
13. $3$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=6\times\frac{1}{2}=3$.
14. $\frac{3}{4}$ — $\sin(60^\circ)\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$.
15. $20$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$.
16. $13$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.
17. $\frac{5}{13}$ — $\sin A = \frac{5}{13}$.
18. $30^\circ$ — מהטבלה: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, ולכן $x=30^\circ$.
19. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
20. $\frac{5}{13}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(12/13\right)^2}=\frac{5}{13}$.
21. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{2}{2}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
22. $25$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
23. $1$ — $4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=4\cdot\frac{1}{4}=1$.
24. $9$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=18\times\frac{1}{2}=9$.
25. $60^\circ$ — מהטבלה: $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$, ולכן $x=60^\circ$.
26. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
27. $12$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=24\times\frac{1}{2}=12$.
28. $5$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=10\times\frac{1}{2}=5$.
29. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
30. $\frac{5}{12}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{5/13}{12/13}=\dfrac{5}{12}=\frac{5}{12}$.
31. $x=30^\circ \lor x=150^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $30^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=30^\circ \lor x=150^\circ$.
32. $1$ — $\sin(30^\circ)+\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
33. $2$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=4\times\frac{1}{2}=2$.
34. $\frac{7}{24}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{7/25}{24/25}=\dfrac{7}{24}=\frac{7}{24}$.
35. $8$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$.