תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

פתרונות

1. $155$ — תחילה $a_{10}=a_1+(n-1)d=2+27=29$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{10(2+29)}{2}=155$.
2. $30$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=4+(3-1)\cdot 13=4+26=30$.
3. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $17=2+(7-1)d$, כלומר $6d=15$, ולכן $d=5$.
4. $\frac{81}{2}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac{1}{3}}=\frac{27}{\frac{2}{3}}=\frac{81}{2}$.
5. חשבונית עם $d=-5$ — ההפרש קבוע: $15-20=-5$, סדרה חשבונית עם $d=-5$.
6. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $8=1\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=8$, ולכן $q=2$.
7. $93$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 8+(6-1)\cdot 3\big)=\frac{6}{2}\big(16+15\big)=\frac{6}{2}\cdot 31=93$.
8. $80$ — נשתמש ב-$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{2(3^{4}-1)}{3-1}=\frac{2\cdot 80}{2}=80$.
9. $9$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{1+17}{2}=9$.
10. $65$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=11+(10-1)\cdot 6=11+54=65$.
11. $16$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16$.
12. $261$ — $S_{9}=\frac{9}{2}\big(2\cdot 1+(9-1)\cdot 7\big)=\frac{9}{2}\big(2+56\big)=\frac{9}{2}\cdot 58=261$.
13. $156$ — $S_{8}=\frac{8}{2}\big(2\cdot 2+(8-1)\cdot 5\big)=\frac{8}{2}\big(4+35\big)=\frac{8}{2}\cdot 39=156$.
14. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $34=10+(8-1)d$, כלומר $7d=24$, ולכן $d=4$.
15. $45$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=5\cdot 3^{2}=5\cdot 9=45$.
16. $32$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{24}{1-\frac{1}{4}}=\frac{24}{\frac{3}{4}}=32$.
17. חשבונית עם $d=-3$ — ההפרש קבוע: $7-10=-3$, סדרה חשבונית עם $d=-3$.
18. הנדסית עם $q=3$ — היחס קבוע: $\frac{6}{2}=3$, סדרה הנדסית עם $q=3$.
19. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
20. $\frac{125}{4}$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{25}{1-\frac{1}{5}}=\frac{25}{\frac{4}{5}}=\frac{125}{4}$.
21. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $30=6+(9-1)d$, כלומר $8d=24$, ולכן $d=4$.
22. $275$ — תחילה $a_{11}=a_1+(n-1)d=10+30=40$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{11(10+40)}{2}=275$.
23. $18$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{3}}=\frac{12}{\frac{2}{3}}=18$.
24. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
25. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.
26. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
27. $6$ — בהנדסית האיבר האמצעי מקיים $x^2=a\cdot c=2\cdot 18=36$, ולכן $x=6$.
28. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $54=2\cdot q^{3}$, כלומר $q^{3}=27$, ולכן $q=3$.
29. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $31=7+(9-1)d$, כלומר $8d=24$, ולכן $d=3$.
30. $13$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{5+21}{2}=13$.
31. $4$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $15=3+(6-1)d$, כלומר $5d=12$, ולכן $d=4$.
32. $3$ — מהנוסחה $a_n=a_1 q^{n-1}$ נקבל $36=4\cdot q^{2}$, כלומר $q^{2}=9$, ולכן $q=3$.
33. $432$ — תחילה $a_{16}=a_1+(n-1)d=12+30=42$. הסכום $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{16(12+42)}{2}=432$.
34. $21$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=6+(4-1)\cdot 5=6+15=21$.
35. $48$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=3\cdot 2^{4}=3\cdot 16=48$.