תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $x>2$ — $f'(x)=2x-4>0$ נותן $x>2$. שם הפונקציה עולה.
2. $x>0$ — $f''(x)=6x>0$ כאשר $x>0$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
3. $x=3$ — $f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)=0$ נותן $x=3,-1$. $f''(x)=6x-6$: $f''(3)=12>0$ מינימום, $f''(-1)=-12<0$ מקסימום.
4. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
5. $8x^3-6x$ — נגזרת $2x^4$ היא $8x^3$, נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$, ונגזרת קבוע היא $0$. לכן $f'(x)=8x^3-6x$.
6. $x=0$ — המכנה $x=0$ והמונה $x^2-1=-1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=0$.
7. $12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
8. $x=2$ — שיפוע הישר $-\frac{1}{4}$, ולכן שיפוע המשיק המאונך הוא $4$. $f'(x)=2x=4$ נותן $x=2$.
9. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
10. מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)=0$ נותן $x=0,1$. $f''(x)=12x-6$: $f''(0)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
11. $y=2x-6$ — $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$. $f(3)=9-12+3=0$, הנקודה $(3,0)$. המשיק: $y-0=2(x-3)$, כלומר $y=2x-6$.
12. $3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
13. $x=0$ — $f''(x)=6x=0$ נותן $x=0$, והקעירות מתחלפת שם (מקעורה כלפי מטה לכלפי מעלה).
14. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
15. $\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$ — $f(x)=x^{1/2}+x^{-1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}x^{-3/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}x^{-3/2}$.
16. $(3,-4)$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$, ו-$f(3)=9-18+5=-4$, לכן הקיצון ב-$(3,-4)$.
17. אף אחת — $f'(x)=1+\frac{1}{x^2}>0$ תמיד, לכן הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
18. $5(x^3-x)^4(3x^2-1)$ — כלל השרשרת: $5(x^3-x)^4\cdot(3x^2-1)$.
19. $6$ — $f'(x)=2x$, ולכן השיפוע $f'(3)=6$.
20. $x=3$ — $f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=0$ נותן $x^2=9$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=3$. ערך המינימום $3+3=6$.
21. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
22. $\frac{7}{(2x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^2}=\frac{7}{(2x+1)^2}$.
23. $\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.
24. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
25. $x=3$ — המכנה מתאפס ב-$x=3$ (והמונה אינו), לכן האסימפטוטה האנכית היא $x=3$.
26. $x=3$ — מקבילות פירושה שיפועים שווים: $f'(x)=2x-2=4$, ולכן $x=3$.
27. $-\frac{6}{x^3}$ — $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$, ולכן הנגזרת $3\cdot(-2)x^{-3}=-6x^{-3}=-\frac{6}{x^3}$.
28. $y=0$ — כאשר $x\to\pm\infty$, $\frac{1}{x}\to 0$, לכן האסימפטוטה האופקית היא $y=0$.
29. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=-6x+6$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
30. $\frac{1}{4}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ולכן $f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$.
31. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
32. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x^2=1$, כלומר $x=\pm 1$.
33. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
34. $y=2$ — כשהמעלות שוות, האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $\frac{2}{1}=2$, כלומר $y=2$.
35. נקודת מינימום — $f'=0$ עם $f''>0$ פירושו נקודת מינימום מקומי.