האם השימוש ב-MathHero חינמי?

כן, MathHero חינמי לחלוטין. אין הרשמה, אין תשלום, אין פרסומות. כל מעל 100,000 השאלות, 14 המחשבונים, ודפי העבודה זמינים ללא תשלום.

האם צריך להירשם כדי להשתמש באתר?

לא. ניתן להיכנס לאתר ולתרגל מיד ללא הרשמה, ללא הזנת אימייל ובלי שום פרטים אישיים. ההתקדמות שלכם נשמרת בדפדפן בלבד.

לאיזה כיתות מתאים MathHero?

MathHero מתאים לתלמידי כיתות א׳ עד י״ב (גילאי 6-18), בהתאם לתוכנית הלימודים של משרד החינוך הישראלי. כולל הכנה לבגרות 3 ו-4 יחידות לכיתות י׳–י״ב — אלגברה, חדו"א, גאומטריה אנליטית, טריגונומטריה, סטטיסטיקה והסתברות.

האם יש שאלות בסגנון מבחני מפמ"ר?

כן. האתר כולל למעלה מ-1,900 שאלות בסגנון מפמ"ר — שאלות משולבות עם 2-3 נושאים בכל שאלה, לכיתות ד׳ עד ט׳. השאלות מדמות את מבנה ורמת הקושי של מבחני המפמ"ר האמיתיים.

האם האתר אוסף מידע אישי על ילדים?

לא. MathHero אינו אוסף שום מידע אישי, אינו דורש הרשמה, ואינו מנהל מאגר מידע. כל הנתונים על ההתקדמות נשמרים בדפדפן של המשתמש בלבד ולא נשלחים לשום שרת.

האם האתר נגיש לתלמידים עם מוגבלות?

כן. האתר עומד בתקן ת"י 5568 (WCAG 2.0 AA) ומכיל תפריט נגישות (Alt+9) עם 6 התאמות: גודל טקסט, ניגודיות גבוהה, הדגשת קישורים, עצירת אנימציות, גופן קריא, וסמן מוגדל.

אילו מחשבונים אינטראקטיביים יש באתר?

14 מחשבונים: לוח כפל, שברים, אחוזים, פותר משוואות ריבועיות, פיתגורס, סטטיסטיקה (ממוצע/חציון/שכיח), יחס, היקף ושטח, לוגריתמים, מצייר פונקציות, פותר משוואה ליניארית, חילוק ארוך, כפל ארוך, ופירוק לגורמים ראשוניים.

האם יש דפי עבודה להדפסה?

כן. האתר מציע דפי עבודה PDF להדפסה בנושאים: לוח כפל, שברים, אחוזים, חיבור וחיסור, גיאומטריה ועוד — מאורגנים לפי כיתה ונושא. ניתן להוריד אותם בכתובת mathhero.co.il/worksheets.

⚡ MathHero · mathhero.co.ilכיתה י"א · 5 יח"ל · 35 שאלות · ~75 דק'

📈

תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

35 שאלות חדו"א מתקדם לבגרות 5 יח"ל: נגזרת מנה ומכפלה, פונקציות רציונליות, חקירה מלאה ואינטגרל.

שם: ___________________________תאריך: _______________ציון: ____ / 35

חדו"א מתקדם הוא הנושא הכבד ביותר בבגרות 5 יח"ל, והוא דורש שליטה ברמה גבוהה בכללי הגזירה והאינטגרציה. דף תרגול זה מרכז 35 שאלות מודרגות וברמת קושי תואמת ל-5 יח"ל: גזירה לפי כלל המכפלה וכלל המנה, גזירת פונקציות מורכבות, חקירה מלאה של פונקציות רציונליות (תחום הגדרה, אסימפטוטות אנכיות ואופקיות, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה), מציאת משיקים ופתרון בעיות קיצון מורכבות, וכן חישובי אינטגרל ושטחים ברמה מתקדמת. הדגש על הצעדים שמבדילים בין 4 ל-5 יחידות: מנה, אסימפטוטות וחקירה של פונקציות שאינן פולינומיות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל. מומלץ לתרגל לאחר שליטה ביסודות הגזירה. זמן מומלץ: כ-75 דקות.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 35 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר MathHero — הנושא המרכזי שמכוסים: ממלכת החדו״א. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-75 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-35 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~75 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 20 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-MathHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-35 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📈 תרגול נגזרות וחקירת פונקציה — בגרות 4 יח"ל · 35 שאלות · ~70 דק'
∫ תרגול אינטגרל וחישוב שטחים — בגרות 4 יח"ל · 35 שאלות · ~70 דק'
📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל · 35 שאלות · ~70 דק'

1.סכום שני מספרים חיוביים הוא $20$ . מהי מכפלתם המקסימלית?
(א) $100$ ✓
(ב) $40$
(ג) $120$
(ד) $80$
2.נתון $f (x) = x^{2} - 3 x$ . המשיק חותך את ציר $y$ בנקודה $(0, - 4)$ ומשיק בנקודה $x = 2$ . מהו שיפוע המשיק?
y = x² − 3x
(א) $3$
(ב) $- 1$
(ג) $1$ ✓
(ד) $2$
3.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ . באילו נקודות המשיק מקביל לציר $x$ ?
y = x
(א) $x = 1, x = 2$
(ב) $x = 0, x = 3$
(ג) $x = 2$
(ד) $x = 0, x = 2$ ✓
4.מהי הנגזרת של $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a, b, c$ קבועים)?
(א) $2 a x + b$ ✓
(ב) $2 a x + b + c$
(ג) $2 a x + b x$
(ד) $a x + b$
5.נתון $f (x) = x^{2}$ . מהו שיפוע הנורמל לגרף בנקודה $x = 2$ ?
y = x²
(א) $4$
(ב) $- \frac{1}{4}$ ✓
(ג) $- 4$
(ד) $\frac{1}{4}$
6.ריבוע המרחק מהנקודה $(3, 0)$ לנקודה $(x, x^{2})$ על הפרבולה $y = x^{2}$ הוא $D (x) = (x - 3)^{2} + x^{4}$ . מהי הנגזרת $D^{'} (x)$ ?
y = x²
(א) $2 x + 4 x^{3}$
(ב) $2 (x - 3) + 4 x^{3}$ ✓
(ג) $(x - 3) + 4 x^{3}$
(ד) $2 (x - 3) + x^{4}$
7.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ ?
y = x
(א) $3 x^{2} - 6 x$
(ב) $3 x^{2} - 6 x + 3$ ✓
(ג) $3 (x - 1)^{2}$ ושניהם נכונים
(ד) $x^{2} - 6 x + 3$
8.באיזה תחום הפונקציה $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ קעורה כלפי מעלה?
y = x
(א) $x > 1$ ✓
(ב) $x < 1$
(ג)כל $x$
(ד) $x > 0$
9.נתון $f (x) = (x^{2} + 1)^{3}$ . מהו $f^{'} (1)$ ?
(א) $12$
(ב) $24$ ✓
(ג) $48$
(ד) $8$
10.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} (x - 1)$ ?
y = x²
(א) $2 x (x - 1)$
(ב) $3 x^{2} - x$
(ג) $3 x^{2} - 2 x$ ✓
(ד) $x^{2} - 2 x$
11.מהי הנגזרת של $f (x) = (x^{2} + 1) (x - 2)$ ?
(א) $2 x (x - 2)$
(ב) $3 x^{2} + 1$
(ג) $3 x^{2} - 4 x$
(ד) $3 x^{2} - 4 x + 1$ ✓
12.נתון $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ . מהו ערך המקסימום המקומי?
y = x
(א) $5$ ✓
(ב) $3$
(ג) $9$
(ד) $1$
13.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x$ . מהן נקודות הקיצון?
y = x
(א)מינימום ב- $x = 0$
(ב)מקסימום ב- $x = - 1$ , מינימום ב- $x = 1$ ✓
(ג)מקסימום ב- $x = 0$
(ד)מינימום ב- $x = - 1$ , מקסימום ב- $x = 1$
14.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x$ . באילו נקודות המשיק אופקי?
y = x
(א) $x = 3, x = - 3$
(ב) $x = 3, x = - 3$
(ג) $x = 0$
(ד) $x = 1, x = - 1$ ✓
15.מהי הנגזרת השנייה של $f (x) = 3 x^{2} + 7 x - 1$ ?
y = 3x² + 7x − 1
(א) $0$
(ב) $6 x + 7$
(ג) $6$ ✓
(ד) $7$
16.נתון $f (x) = x$ . מהי משוואת המשיק בנקודה $x = 1$ ?
(א) $y = x$
(ב) $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$
(ג) $y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2}$ ✓
(ד) $y = \frac{1}{2} x$
17.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x - 2$ ?
y = x
(א) $3 x^{2} - 12 x + 9 - 2$
(ב) $3 x^{2} - 6 x + 9$
(ג) $x^{2} - 12 x + 9$
(ד) $3 x^{2} - 12 x + 9$ ✓
18.נתון $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ . מהי נקודת הפיתול?
y = x
(א) $(0, 4)$
(ב) $(1, 0)$
(ג) $(2, 0)$
(ד) $(1, 2)$ ✓
19.נתון $f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ . מהן נקודות הקיצון?
y = x
(א)מינימום ב- $x = \pm 2$
(ב)מינימום ב- $x = 0$
(ג)מקסימום ב- $x = \pm 1$
(ד)מינימום ב- $x = \pm 1$ , מקסימום ב- $x = 0$ ✓
20.לפונקציה $f$ מתקיים $f^{'} (c) = 0$ ו- $f^{''} (c) < 0$ . מה $x = c$ ?
(א)נקודת מקסימום✓
(ב)נקודת פיתול
(ג)נקודת מינימום
(ד)קצה תחום
21.נתון $f (x) = x^{2} - 4 x$ . מהו תחום העלייה?
y = x² − 4x
(א) $x > 0$
(ב) $x > 2$ ✓
(ג) $x < 2$
(ד) $x < 4$
22.נתון $f (x) = x^{2} + b x$ . המשיק בנקודה $x = 1$ בעל שיפוע $5$ . מהו $b$ ?
y = x²
(א) $3$ ✓
(ב) $2$
(ג) $4$
(ד) $5$
23.רוצים לחלק חוט באורך $24$ ס"מ לשני ריבועים כך שסכום שטחיהם מינימלי. מה אורך צלע כל ריבוע במצב האופטימלי?
(א) $4$ ס"מ
(ב) $2$ ס"מ
(ג) $3$ ס"מ (חלוקה שווה)✓
(ד) $6$ ס"מ
24.נתון $f (x) = x^{3} + a x$ . ידוע $f^{'} (2) = 15$ . מהו $a$ ?
y = x
(א) $15$
(ב) $3$ ✓
(ג) $- 3$
(ד) $1$
25.נתון $f (x) = \frac{1}{x}$ . מהי משוואת המשיק בנקודה $x = 1$ ?
(א) $y = - x + 2$ ✓
(ב) $y = x$
(ג) $y = - x$
(ד) $y = - x - 2$
26.נתון $f (x) = x^{3} - 12 x$ . מהו ערך המקסימום המקומי?
y = x
(א) $0$
(ב) $- 16$
(ג) $16$ ✓
(ד) $12$
27.מהי הנגזרת של $f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{x}$ ?
(א) $1 + \frac{1}{x ^{2}}$
(ב) $\frac{2 x ^{2} - 1}{x ^{2}}$
(ג) $2 x - \frac{1}{x ^{2}}$
(ד) $1 - \frac{1}{x ^{2}}$ ✓
28.נתון $f^{'} (x) = x (x - 2)$ . מהו תחום העלייה של $f$ ?
(א) $0 < x < 2$
(ב) $x > 0$
(ג) $x < 2$
(ד) $x < 0$ או $x > 2$ ✓
29.מהי הנגזרת של $f (x) = (3 x - 2)^{4}$ ?
(א) $3 (3 x - 2)^{3}$
(ב) $12 (3 x - 2)^{4}$
(ג) $4 (3 x - 2)^{3}$
(ד) $12 (3 x - 2)^{3}$ ✓
30.מהי הנגזרת של $f (x) = x^{2} x$ (כלומר $x^{5/2}$ )?
y = x²
(א) $\frac{5}{2} x^{1/2}$
(ב) $\frac{5}{2} x^{3/2}$ ✓
(ג) $\frac{2}{5} x^{3/2}$
(ד) $2 x^{3/2}$
31.נתון $f (x) = - x^{2} + 4 x - 1$ . מהי נקודת הקיצון?
y = −x² + 4x − 1
(א)מקסימום ב- $x = 2$ ✓
(ב)מקסימום ב- $x = 4$
(ג)מקסימום ב- $x = - 2$
(ד)מינימום ב- $x = 2$
32.נתון $f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$ . מהי האסימפטוטה האופקית?
(א)אין
(ב) $y = 0$ ✓
(ג) $x = 0$
(ד) $y = 1$
33.נתון ש- $f^{'} (x) = 0$ ב- $x = 2$ , $f^{'} > 0$ ב- $x < 2$ ו- $f^{'} < 0$ ב- $x > 2$ . כמה נקודות קיצון יש ל- $f$ וטיבן?
(א)אין קיצון
(ב)מינימום אחד ב- $x = 2$
(ג)מקסימום אחד ב- $x = 2$ ✓
(ד)פיתול ב- $x = 2$
34.מהי הנגזרת השנייה של $f (x) = x^{4} - 2 x^{3}$ ?
y = x
(א) $4 x^{3} - 6 x^{2}$
(ב) $12 x^{2} - 12 x$ ✓
(ג) $12 x^{2} - 6 x$
(ד) $12 x^{3} - 12 x$
35.מהו ערך $x > 0$ שעבורו הביטוי $f (x) = x + \frac{9}{x}$ מינימלי?
y = x
(א) $x = 9$
(ב) $x = 1$
(ג) $x = \frac{1}{3}$
(ד) $x = 3$ ✓

MathHero — תרגול מתמטיקה אונליין · mathhero.co.il

פתרונות

$100$ — אם $x+y=20$ אז $y=20-x$ והמכפלה $P=x(20-x)=20x-x^2$. $P'=20-2x=0$ נותן $x=10$, ואז $P=10\cdot 10=100$.
$1$ — $f'(x)=2x-3$, $f'(2)=1$. (אכן המשיק $y=x-4$ חותך את ציר $y$ ב-$-4$.)
$x=0,\ x=2$ — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$ נותן $x=0$ או $x=2$.
$2ax+b$ — גוזרים: $2ax+b$. הקבוע $c$ נעלם.
$-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
$2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
$3x^2-6x+3$ — גוזרים: $3x^2-6x+3=3(x-1)^2$. שני הביטויים שווים, אך התשובה הנכונה כמסיח היא $3x^2-6x+3$.
$x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
$24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
$3x^2-2x$ — נפתח: $f(x)=x^3-x^2$, ולכן $f'(x)=3x^2-2x$.
$3x^2-4x+1$ — לפי כלל המכפלה: $2x(x-2)+(x^2+1)\cdot 1=2x^2-4x+x^2+1=3x^2-4x+1$.
$5$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$. מקסימום ב-$x=1$: $f(1)=1-6+9+1=5$.
מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
$x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x^2=1$, כלומר $x=\pm 1$.
$6$ — $f'(x)=6x+7$, ולכן $f''(x)=6$.
$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f'(1)=\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
$3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
$(1,2)$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. $f(1)=1-3+4=2$, לכן נקודת הפיתול $(1,2)$.
מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.
נקודת מקסימום — $f'=0$ עם $f''<0$ פירושו נקודת מקסימום מקומי.
$x>2$ — $f'(x)=2x-4>0$ נותן $x>2$. שם הפונקציה עולה.
$3$ — $f'(x)=2x+b$, $f'(1)=2+b=5$, ולכן $b=3$.
$3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
$3$ — $f'(x)=3x^2+a$, ולכן $f'(2)=12+a=15$, מכאן $a=3$.
$y=-x+2$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, $f'(1)=-1$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=-1(x-1)$, כלומר $y=-x+2$.
$16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
$1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
$x<0$ או $x>2$ — $f'(x)=x(x-2)>0$ מחוץ לשורשים, כלומר $x<0$ או $x>2$.
$12(3x-2)^3$ — כלל השרשרת: $4(3x-2)^3\cdot 3=12(3x-2)^3$.
$\frac{5}{2}x^{3/2}$ — $x^2\sqrt{x}=x^{5/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{5}{2}x^{3/2}$.
מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
$y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
$12x^2-12x$ — $f'(x)=4x^3-6x^2$, ולכן $f''(x)=12x^2-12x$.
$x=3$ — $f'(x)=1-\frac{9}{x^2}=0$ נותן $x^2=9$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=3$. ערך המינימום $3+3=6$.