תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $-2x^{-3}$ — לפי כלל החזקה $(x^{-2})'=-2x^{-3}$.
2. $-\frac{1}{4}$ — שיפוע המשיק $f'(2)=4$. שיפוע הנורמל הוא הנגדי-הופכי: $-\frac{1}{4}$.
3. נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.
4. מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.
5. $x=0$ — המכנה $x=0$ והמונה $x^2-1=-1\ne 0$ שם, לכן אסימפטוטה אנכית $x=0$.
6. $x=4$ — $A'=2x-\frac{128}{x^2}=0$ נותן $2x^3=128$, כלומר $x^3=64$, $x=4$.
7. $-2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-3=-2$.
8. $-\frac{1}{x^2}$ — $\frac{1}{x}=x^{-1}$, ולכן הנגזרת $-1\cdot x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.
9. כל $x$ — $f''(x)=2>0$ לכל $x$, לכן הפרבולה קעורה כלפי מעלה תמיד.
10. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
11. $2ax+b$ — גוזרים: $2ax+b$. הקבוע $c$ נעלם.
12. $2$ (מקסימום ב-$x=0$) — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. מקסימום ב-$x=0$: $f(0)=2$. מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-12+2=-2$. הגדול הוא $2$.
13. $x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
14. $\frac{1}{(x+1)^2}$ — זוהי $\frac{x}{x+1}$. כלל המנה: $\frac{(x+1)-x}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}$.
15. $x<-2$ או $x>1$ — $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)>0$ כאשר $x<-2$ או $x>1$.
16. $(2,4)$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. $f(2)=-4+8=4$. הנקודה $(2,4)$.
17. $3$ ס"מ (חלוקה שווה) — אם חותכים ל-$x$ ו-$24-x$, צלעות הריבועים $\frac{x}{4}$ ו-$\frac{24-x}{4}$. סכום השטחים $S=\frac{x^2}{16}+\frac{(24-x)^2}{16}$. $S'=\frac{2x-2(24-x)}{16}=0$ נותן $x=12$, כלומר כל ריבוע מהיקף $12$ וצלע $3$ ס"מ.
18. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
19. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
20. $\frac{1}{4}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, ולכן $f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$.
21. $\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{2x-5}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$.
22. $-\frac{1}{4}$ — $f'(x)=x^3-x=x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. מינימום ב-$x=\pm 1$: $f(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$.
23. $y=0$ — מעלת המכנה גדולה ממעלת המונה, לכן $x\to\pm\infty$ נותן $f\to 0$. אסימפטוטה $y=0$.
24. $\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{2(x^2+1)-2x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{2x^2+2-4x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$.
25. $x>0$ — $f''(x)=6x>0$ כאשר $x>0$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
26. $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$ — $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, $f'(1)=\frac{1}{2}$. הנקודה $(1,1)$. המשיק: $y-1=\frac{1}{2}(x-1)$, כלומר $y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$.
27. $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ — $x\sqrt{x}=x^{3/2}$, ולכן הנגזרת $\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$.
28. $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}\cdot 1}{(x+1)^2}$. נכפיל מונה ומכנה ב-$2\sqrt{x}$: $\frac{(x+1)-2x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.
29. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=-6x+6$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
30. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
31. $2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$ — כלל מכפלה: $u=x^2,\ u'=2x$; $v=(x-1)^3,\ v'=3(x-1)^2$. אז $f'=2x(x-1)^3+3x^2(x-1)^2$.
32. מקסימום ב-$x=-1$, מינימום ב-$x=1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x=\pm 1$. $f''(x)=6x$: $f''(-1)=-6<0$ מקסימום, $f''(1)=6>0$ מינימום.
33. $\frac{2}{(x+1)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{1\cdot(x+1)-(x-1)\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$.
34. $15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
35. $x=2$ — $S=24x-2x^3$, $S'=24-6x^2=0$ נותן $x^2=4$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=2$.