תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $16$ — $f'(x)=3x^2-12=0\Rightarrow x=\pm 2$. מקסימום ב-$x=-2$: $f(-2)=-8+24=16$.
2. $\frac{-2}{(x+2)^3}$ — נכתוב $f(x)=(x+2)^{-2}$. כלל השרשרת: $-2(x+2)^{-3}\cdot 1=\frac{-2}{(x+2)^3}$.
3. מקסימום ב-$x=1$, מינימום ב-$x=-1$ — $f'(x)=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}=0$ נותן $x=\pm 1$. ב-$x=1$ מקסימום, ב-$x=-1$ מינימום.
4. $x=1,\ x=-1$ — $f'(x)=3x^2-3=0$ נותן $x^2=1$, כלומר $x=\pm 1$.
5. $3x^2-4$ — גוזרים איבר־איבר לפי כלל החזקה $(x^n)'=nx^{n-1}$: נגזרת $x^3$ היא $3x^2$ ונגזרת $-4x$ היא $-4$, לכן $f'(x)=3x^2-4$.
6. $3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
7. מינימום ב-$x=0$, מקסימום ב-$x=2$ — $f(x)=3x^2-x^3$, $f'(x)=6x-3x^2=3x(2-x)=0$ נותן $x=0,2$. $f''(x)=6-6x$: $f''(0)=6>0$ מינימום, $f''(2)=-6<0$ מקסימום.
8. $y=2$ — מעלות שוות, יחס מקדמים מובילים $\frac{2}{1}=2$, לכן $y=2$.
9. $9$ — $f'(x)=3x^2-3$, ולכן $f'(2)=3\cdot 4-3=9$.
10. $-6(5-2x)^2$ — כלל השרשרת: $3(5-2x)^2\cdot(-2)=-6(5-2x)^2$.
11. $2x$ — $\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$. כאשר $h\to 0$ מתקבל $2x$.
12. $\frac{7}{(2x+1)^2}$ — כלל המנה: $\frac{3(2x+1)-(3x-2)\cdot 2}{(2x+1)^2}=\frac{6x+3-6x+4}{(2x+1)^2}=\frac{7}{(2x+1)^2}$.
13. $x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם חיובי, לכן זה מינימום.
14. $x=1,\ x=-1$ — $x^2-1=(x-1)(x+1)=0$ ב-$x=\pm 1$, והמונה $x^2+1$ אינו מתאפס שם, לכן שתי אסימפטוטות אנכיות.
15. $f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
16. $0$ — נגזרת של פונקציה קבועה שווה תמיד $0$.
17. $t=2$ — $h'(t)=20-10t=0$ נותן $t=2$ שניות. שם הגובה מקסימלי.
18. $x=1$ — $f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=0$ נותן $x^2=1$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=1$. שם מינימום (ערך $2$).
19. $x=1$ או $x=-1$ — משיק בנקודה $(a,a^2+1)$: $y=2a x-a^2+1$. דרך $(0,0)$: $-a^2+1=0$, כלומר $a^2=1$, $a=\pm 1$.
20. $-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.
21. $2$ (מקסימום ב-$x=0$) — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. מקסימום ב-$x=0$: $f(0)=2$. מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-12+2=-2$. הגדול הוא $2$.
22. $x>1$ — $f''(x)=6x-6>0$ נותן $x>1$, ושם הגרף קעור כלפי מעלה.
23. $8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
24. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
25. $y=2x-6$ — $f'(x)=2x-4$, $f'(3)=2$. $f(3)=9-12+3=0$, הנקודה $(3,0)$. המשיק: $y-0=2(x-3)$, כלומר $y=2x-6$.
26. לא קיצון (הנגזרת לא מחליפה סימן) — $f'(x)=3(x-2)^2\ge 0$ תמיד ואינו מחליף סימן ב-$x=2$, לכן אין שם קיצון.
27. $y=2x$ — $f'(x)=2x+2$, $f'(0)=2$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=2x$.
28. מקסימום ב-$x=2$ — $f'(x)=-2x+4=0$ נותן $x=2$. מקדם $x^2$ שלילי — פרבולה פתוחה כלפי מטה, לכן מקסימום.
29. נגדיים — $f'(1)=2$ ו-$f'(-1)=-2$, ולכן השיפועים נגדיים זה לזה.
30. $(3,-4)$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$, ו-$f(3)=9-18+5=-4$, לכן הקיצון ב-$(3,-4)$.
31. $x=2$ — $S=24x-2x^3$, $S'=24-6x^2=0$ נותן $x^2=4$, ולעבור $x>0$ מתקבל $x=2$.
32. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
33. $\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$ — נפשט: $f(x)=x^{3/2}+2x^{1/2}$, ולכן $f'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}+2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.
34. $9x^2-2x+6$ — לפי כלל המכפלה: $3(x^2+2)+(3x-1)(2x)=3x^2+6+6x^2-2x=9x^2-2x+6$.
35. מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.