תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל

פתרונות

1. $5(x^3-x)^4(3x^2-1)$ — כלל השרשרת: $5(x^3-x)^4\cdot(3x^2-1)$.
2. אחת ($x=0$) — $f(x)=\frac{x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$ (עבור $x\ne -1$). ב-$x=-1$ יש 'חור' ולא אסימפטוטה. אסימפטוטה אנכית יחידה: $x=0$.
3. $x=20$ — $P'(x)=-2x+40=0$ נותן $x=20$. מקדם שלילי — מקסימום.
4. $x=5$ — $f'(x)=2x-10=0$ נותן $x=5$. מקדם חיובי — מינימום.
5. $15x^2+4x-7$ — גוזרים: $15x^2+4x-7$. הקבוע $+1$ נעלם בגזירה.
6. $\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{3x^2-1}}\cdot 6x=\frac{6x}{2\sqrt{3x^2-1}}=\frac{3x}{\sqrt{3x^2-1}}$.
7. $4$ — מינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-2+5=4$.
8. מינימום ב-$x=3$ — $f'(x)=2x-6=0$ נותן $x=3$. מקדם $x^2$ חיובי — פרבולה פתוחה כלפי מעלה, לכן מינימום.
9. $3x^2-12x+9$ — גוזרים איבר־איבר: $3x^2-12x+9$. הקבוע $-2$ נעלם.
10. $x<1$ או $x>3$ — $f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)>0$ כאשר $x<1$ או $x>3$.
11. מינימום — $f'$ עולה דרך אפס ב-$x=3$: שלילי לפני, חיובי אחרי. ירידה ואז עלייה — מינימום.
12. $\frac{-7}{(x-3)^2}$ — לפי כלל המנה: $\frac{2(x-3)-(2x+1)\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}=\frac{-7}{(x-3)^2}$.
13. שתיים — הנגזרת מתאפסת ב-$x=0$ וב-$x=2$ ומחליפה סימן בשתיהן (מקסימום ב-$x=0$, מינימום ב-$x=2$), לכן שתי נקודות קיצון.
14. מקסימום אחד ב-$x=2$ — הנגזרת מחליפה מ-$+$ ל-$-$ ב-$x=2$, לכן זה מקסימום מקומי.
15. $-1$ — $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$, ולכן $f'(1)=-1$.
16. $\frac{1}{\sqrt{x}}+3$ — נגזרת $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ היא $2\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$, ונגזרת $3x$ היא $3$.
17. $t=2$ — $h'(t)=20-10t=0$ נותן $t=2$ שניות. שם הגובה מקסימלי.
18. $8x^3-6x$ — נגזרת $2x^4$ היא $8x^3$, נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$, ונגזרת קבוע היא $0$. לכן $f'(x)=8x^3-6x$.
19. מינימום ב-$x=2$ — $f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=0$ נותן $2x^3=16$, כלומר $x^3=8$, $x=2$. $f''(x)=2+\frac{32}{x^3}>0$ ב-$x=2$, לכן מינימום.
20. $2(x-3)+4x^3$ — $D(x)=(x-3)^2+(x^2)^2=(x-3)^2+x^4$. הנגזרת: $2(x-3)+4x^3$.
21. $f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2}$, אין קיצון — כלל המנה: $f'(x)=\frac{(x-1)-x}{(x-1)^2}=\frac{-1}{(x-1)^2}<0$ תמיד, לכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה ואין קיצון.
22. $1-\frac{1}{x^2}$ — נפשט: $f(x)=x+\frac{1}{x}=x+x^{-1}$, ולכן $f'(x)=1-x^{-2}=1-\frac{1}{x^2}$.
23. $-6x+8$ — נגזרת $-3x^2$ היא $-6x$ ונגזרת $8x$ היא $8$, לכן $f'(x)=-6x+8$.
24. $y=-x$ — $f'(x)=3x^2-1$, $f'(0)=-1$. הנקודה $(0,0)$. המשיק: $y=-x$.
25. $24$ — $f'(x)=6x(x^2+1)^2$, ולכן $f'(1)=6\cdot 1\cdot(2)^2=6\cdot 4=24$.
26. $2$ (מקסימום ב-$x=0$) — $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. מקסימום ב-$x=0$: $f(0)=2$. מינימום ב-$x=2$: $f(2)=8-12+2=-2$. הגדול הוא $2$.
27. $x=1$ — $f''(x)=6x-6=0$ נותן $x=1$. הנגזרת השנייה מחליפה סימן שם, לכן נקודת פיתול.
28. מינימום ב-$x=\pm 1$, מקסימום ב-$x=0$ — $f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=0$ נותן $x=0,\pm 1$. $f''(x)=12x^2-4$: $f''(0)=-4<0$ מקסימום, $f''(\pm 1)=8>0$ מינימום.
29. $-3$ — השיפוע שווה לנגזרת. $f'(x)=2x-5$, ולכן $f'(1)=2-5=-3$.
30. $x=3,\ x=-3$ — המכנה $x^2-9=(x-3)(x+3)$ מתאפס ב-$x=\pm 3$, והמונה אינו, לכן שתי אסימפטוטות: $x=3$ ו-$x=-3$.
31. $\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$ — כלל המנה (או שרשרת על $(x^2+1)^{-1}$): $\frac{0\cdot(x^2+1)-1\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}$.
32. $-2$ — המינימום ב-$x=1$: $f(1)=1-3=-2$.
33. $8x-4$ — נפתח: $f(x)=4x^2-4x+1$, ולכן $f'(x)=8x-4$. (גם כלל שרשרת: $2(2x-1)\cdot 2=8x-4$.)
34. $\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$ — כלל השרשרת: $\frac{1}{2\sqrt{x^2+2x}}\cdot(2x+2)=\frac{2(x+1)}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$.
35. $0$ — נגזרת של פונקציה קבועה שווה תמיד $0$.